Chuyên đề viết phương trình mặt phẳng dạng cơ bản luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 27 của đề tham khảo môn Toán.

TÌM PTMP ĐI QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Tìm một VTPT của mặt phẳng

-Phương pháp: Sử dụng định nghĩa: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $,$\overrightarrow n $ có giá vuông góc với $(P)$ $ \Rightarrow \overrightarrow n $ là 1 VTPT của $(P)$

-Chú ý:

①. Nếu $\overrightarrow n $ là một VTPT của mặt phẳng $(P)$ thì $k\overrightarrow n \,$$\,(k \ne 0)$ cũng là một VTPT của mp$(P)$

②. Nếu mp$(P)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\,\,$thì nó có một VTPT là $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$.

③. Nếu $(P)$có cặp $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$ thì $\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}$ là một VTPT của $(P)$.

  Bài tập minh họa:

Vấn đề ②: Viết phương trình mặt phẳng

-Phương pháp:

❶.Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

$(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

Hay $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.$

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{{\rm{x}}}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

❷.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$đi qua 1 điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$và song song với 1 mặt phẳng $\left( \beta \right):Ax + By + Cz + D = 0$cho trước.

. VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. $(\alpha )//(\beta )$ nên VTPT của mặt phẳng $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. Phương trình mặt phẳng $(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

❸.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua 3 điểm $A$, $B$, $C$không thẳng hàng.

. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} .$

.Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$là : $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

.Điểm thuộc mặt phẳng: $A$ (hoặc $B$ hoặc $C$).

. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }} $.

❹. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$.

. Tìm VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} .$

. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} .$

. VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {AB} } \right]$.

. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

 Bài tập minh họa:

Ⓑ Bài tập rèn luyện

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( P \right):x + y + z = 0$. B. $\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0$.

C. $\left( \beta \right):x + y – z = 0$. D. $\left( Q \right):x + y – 2z = 0$.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, điểm $M\left( {3;4; – 2} \right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( R \right):x + y – 7 = 0$. B. $\left( S \right):x + y + z + 5 = 0$.

C. $\left( Q \right):x – 1 = 0$. D. $\left( P \right):z – 2 = 0$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( {\;P} \right)$ có phương trình $3x – y + z – 1 = 0$. Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc $\left( {\;P} \right)$.

A. $B\left( {1; – 2;4} \right)$. B. $A\left( {1; – 2; – 4} \right)$. C. $C\left( {1;2; – 4} \right)$. D. $D\left( { – 1; – 2; – 4} \right)$.

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $y – 2 = 0$. B. $x – 2 = 0$. C. $y – z = 0$. D. $x – y = 0$.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;{\rm{ }} – 9{\rm{; 15}}} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1; – 3{\rm{; 5}}} \right)$.

C. $\overrightarrow n = \left( {2;{\rm{ 6; }} – {\rm{10}}} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho vectơ $\overrightarrow n \left( {0;\,1;\,1} \right)$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ $\overrightarrow n $ làm vectơ pháp tuyến?

A. $x = 0$. B. $y + z = 0$. C. $z = 0$. D. $x + y = 0$.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $x = y + z$ B. $y – z = 0$ C. $y + z = 0$ D. $x = 0$

Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1;0} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1;0} \right)$.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x + 2y – 3 = 0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

B. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4; – 6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

C. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2; – 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

D. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2;\,\,3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 5 = 0$. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;5} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;5} \right)$.

Câu 11: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng$(P)$: $2x – y + 5 = 0$, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = (2;0; – 1)$. B. $\overrightarrow n = (2; – 1;5)$. C. $\overrightarrow n = (2; – 1;1)$. D. $\overrightarrow n = (2; – 1;0)$.

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa dộ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – 3z + 2 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 1;\;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;1;\; – 3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\;1;\; – 3} \right)$.

Câu 15: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $z – 2x + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là:

A. $\vec u = \left( {0;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} – 2} \right)$. B. $\vec v = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$. C. $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\vec w = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2z + z + 2017 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 1;4} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; – 2;2} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z – 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1;3; – 2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( {3; – 5; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 4;5; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x + 2y – 6z + 5 = 0$. Khi đó một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( {2;1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2;6} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {4;2;6} \right)$.

Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – z – 1 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $Q\left( {1;\,2;\, – 5} \right)$. B. $N\left( {4;\,2;\,1} \right)$. C. $M\left( { – 2;\,1;\, – 8} \right)$. D. $P\left( {3;\,1;\,3} \right)$.

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,2x – 3y + 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;4;5} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 4; – 3;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;5} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {1; – 2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2;4} \right)$.

Câu 23: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$.

Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;0;2} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $M \in \left( {Oxz} \right)$ B. $M \in \left( {Oyz} \right)$ C. $M \in Oy$ D. $M \in \left( {Oxy} \right)$

Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình là

A. $z = 0$. B. $x + y + z = 0$. C. $x = 0$. D. $y = 0$.

Câu 27: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x – y + 3 = 0$. Véctơ nào sau đây không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow a = \left( {3;\, – 3;\,0} \right)$. B. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow a = \left( { – 1;\,1;\,0} \right)$.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 4y + 3 = 0$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 4;3} \right)$.

Câu 29: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$ và $C\left( { – 10;5;3} \right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$?

A. $\vec n = \left( {1;8;2} \right)$. B. $\vec n = \left( {1;2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;2} \right)$. D. $\vec n = \left( {1; – 2;2} \right)$.

Câu 30: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {3;1; – 2} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1; – 2;1} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( { – 2;1;3} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {3; – 2;1} \right)$.

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;1} \right)$; $B\left( {1; – 2;0} \right)$ và $C\left( {1;0;2} \right)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 4;2; – 2} \right)$ B. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;1} \right)$ C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;2;2} \right)$ D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1; – 1} \right)$

Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz,$ vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là:

A. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)$. B. $\overrightarrow n \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)$. C. $\overrightarrow n \left( {\,0;\,\,0;\,\,1} \right)$. D. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$.

Câu 34: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2z + 3 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1;0; – 2} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( {1; – 1;0} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {0;1;0} \right)$.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3 = 0$. Véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)$.

Câu 37: Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3y + z = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\; – 3;\;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;1} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\; – 1} \right)$.

Câu 38: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,0;\, – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 1;\,0;\, – 1} \right)$.

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:$\,2x – y + 3z – 1 = 0$. Véc tơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

Câu 40: Trong không gian$Oxyz$, cho mặt phẳng$\left( P \right):3x–z + 2 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của$\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_4}} = ( – 1;0; – 1)$ B. $\overrightarrow {{n_1}} = (3; – 1;2)$ C. $\overrightarrow {{n_3}} = (3; – 1;0)$ D. $\overrightarrow {{n_2}} = (3;0; – 1)$

Câu 41: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x + z – 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;1;0} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;2;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1; – 1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0;1} \right)$.

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$ B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$ C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$ D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$

Câu 43: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z + 2020 = 0$. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;4; – 6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;2020} \right)$.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây không là phương trình mặt phẳng:

A. $x + y = 4$ B. $x + y + z = 4$ C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ D. $y + z = 4$

Câu 45: Cho hai điểm $M\left( {1;2; – 4} \right)$ và $M’\left( {5;4;2} \right)$ biết $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$có một véctơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( {3;3; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;3;3} \right)$.

Câu 46: Trong không gian $\left( {Oxyz} \right)$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y – z + 2 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$có tọa độ là

A. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$ B. $\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}1} \right)$ C. $\left( {1;{\rm{ }}1; – 1} \right)$ D. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$:$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {3;2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {2;3;6} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;3} \right)$. D. $\vec n = \left( {6;3;2} \right)$.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm một vectơ pháp tuyến $\vec n$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right):4y – 6z + 7 = 0.$.

A. $\vec n = \left( {0;6;4} \right)$. B. $\vec n = \left( {4; – 6;7} \right)$. C. $\vec n = \left( {4;0; – 6} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2; – 3} \right)$.

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y – 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = ( – 4;3;2)$. B. $\overrightarrow n = (2,3, – 4)$. C. $\overrightarrow n = (2;3;4)$. D. $\overrightarrow n = (2;3;5)$.

Câu 50: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – y + 3z – 1 = 0$. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

ĐÁP ÁN

Hướng dẫn giải

 Dạng 01: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( P \right):x + y + z = 0$. B. $\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0$.

C. $\left( \beta \right):x + y – z = 0$. D. $\left( Q \right):x + y – 2z = 0$.

Lời giải

$\Delta \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_P}} $.

Do VTCP của $\Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;\,1;\,2} \right)$, VTPT của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_P} = \left( {1;\,1;\,2} \right)} $.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, điểm $M\left( {3;4; – 2} \right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( R \right):x + y – 7 = 0$. B. $\left( S \right):x + y + z + 5 = 0$.

C. $\left( Q \right):x – 1 = 0$. D. $\left( P \right):z – 2 = 0$.

Lời giải

Xét đáp án A ta thấy $3 + 4 – 7 = 0$ vậy $M$ thuộc $\left( R \right)$.$$

Xét đáp án B ta thấy $3 + 4 – 2 + 5 = 10 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( S \right)$.

Xét đáp án C ta thấy $3 – 1 = 2 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( Q \right)$.

Xét đáp án D ta thấy $ – 2 – 2 = – 4 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( P \right)$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( {\;P} \right)$ có phương trình $3x – y + z – 1 = 0$. Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc $\left( {\;P} \right)$.

A. $B\left( {1; – 2;4} \right)$. B. $A\left( {1; – 2; – 4} \right)$. C. $C\left( {1;2; – 4} \right)$. D. $D\left( { – 1; – 2; – 4} \right)$.

Lời giải

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy điểm $A$ thỏa.

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $y – 2 = 0$. B. $x – 2 = 0$. C. $y – z = 0$. D. $x – y = 0$.

Lời giải

$\left( {Oyz} \right)$ có phương trình $x = 0$$ \Rightarrow $ $x – 2 = 0$ là mặt phẳng song song với $\left( {Oyz} \right)$.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;{\rm{ }} – 9{\rm{; 15}}} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1; – 3{\rm{; 5}}} \right)$.

C. $\overrightarrow n = \left( {2;{\rm{ 6; }} – {\rm{10}}} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$.

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;3; – 5} \right)$.

Vì vectơ $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} $ nên không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho vectơ $\overrightarrow n \left( {0;\,1;\,1} \right)$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ $\overrightarrow n $ làm vectơ pháp tuyến?

A. $x = 0$. B. $y + z = 0$. C. $z = 0$. D. $x + y = 0$.

Lời giải

$y + z = 0 \Leftrightarrow 0.x + y + z = 0 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0;\,1;\,1} \right)$.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $x = y + z$ B. $y – z = 0$ C. $y + z = 0$ D. $x = 0$

Lời giải

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ làm vec tơ pháp tuyến.

Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1;0} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1;0} \right)$.

Lời giải

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x + 2y – 3 = 0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

B. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4; – 6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

C. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2; – 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

D. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2;\,\,3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Lời giải

Có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;2;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Vậy: $\overrightarrow n = \left( {6;4;0} \right) = 2\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} $, nên $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$cũng là một vectơ pháp tuyến của mp$\left( P \right).$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 5 = 0$. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;5} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;5} \right)$.

Lời giải

Câu 11: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; – 3; – 4} \right) = – \left( { – 2;3;4} \right)$ nên chọn đáp án

D.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng$(P)$: $2x – y + 5 = 0$, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = (2;0; – 1)$. B. $\overrightarrow n = (2; – 1;5)$. C. $\overrightarrow n = (2; – 1;1)$. D. $\overrightarrow n = (2; – 1;0)$.

Lời giải

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {2;1; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa dộ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – 3z + 2 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 1;\;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;1;\; – 3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\;1;\; – 3} \right)$.

Lời giải

Một VTPT của $\left( P \right)$là: $\left( {2;\; – 1;\; – 3} \right)$. Suy ra $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$.

Câu 15: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $z – 2x + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là:

A. $\vec u = \left( {0;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} – 2} \right)$. B. $\vec v = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$. C. $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\vec w = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Lời giải

Ta có: $z – 2x + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 2x – z – 3 = 0$. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2z + z + 2017 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 1;4} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; – 2;2} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Lời giải

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z – 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1;3; – 2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( {3; – 5; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 4;5; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Lời giải

Vì $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ nên một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x + 2y – 6z + 5 = 0$. Khi đó một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( {2;1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2;6} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {4;2;6} \right)$.

Lời giải

Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – z – 1 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $Q\left( {1;\,2;\, – 5} \right)$. B. $N\left( {4;\,2;\,1} \right)$. C. $M\left( { – 2;\,1;\, – 8} \right)$. D. $P\left( {3;\,1;\,3} \right)$.

Lời giải

Thay lần lượt toạ độ của các điểm $P$, $Q$, $M$, $N$. Chỉ có toạ độ điểm $P$ không thoả nên $P \in \left( \alpha \right)$.

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,2x – 3y + 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;4;5} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 4; – 3;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;5} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {1; – 2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2;4} \right)$.

Lời giải

Phương trình $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$nên $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$.

Câu 23: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_0}} = \left( {2; – 3; – 4} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right) = – \overrightarrow {{n_0}} $, hay $\overrightarrow n $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_0}} $.

Do đó véc tơ $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$cũng là một véc tơ pháp tuy