Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Các dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lý thuyết cực trị của hàm số Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12 Giải bài 4 trang 10 SGK Giải tích 12 Giải bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12 Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12 Giải bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12 Trả lời câu hỏi 3 trang 7 SGK Giải tích 12 Trả lời câu hỏi 2 trang 5 SGK Giải tích 12 Trả lời câu hỏi 1 trang 4 SGK Giải tích 12 Tính đơn điệu của hàm số Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốCác dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Một số dạng bài thường gặp
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm f′(x), tìm các điểm x1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=2x4+1.
Ta có y′=8x3,y′>0⇔x>0 nên hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞)
y′<0⇔x<0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;0)
Một số trường hợp đặc biệt:
Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính f′(x).
- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾ và y' = 0 tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R và y' = 0 tại hữu hạn điểm.
- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017 đồng biến trên \mathbb{R}.
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0 {\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.
\Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2
Cho hàm số f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right). Khi đó:
\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}
Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số y = f\left( x \right) đồng biến trên D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D.
+ Hàm số y = f\left( x \right) nghịch biến trên D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút m theo x sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D hoặc m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y = g\left( x \right) trên D.
- Kết luận: \begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered}
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm m để hàm số y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} đồng biến, nghịch biến trên khoảng \left( {\alpha ;\beta } \right)
- Bước 1: Tính y'.
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
+ Hàm số nghịch biến trên \left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.
- Bước 3: Kết luận.
Mẹo tìm đáp án nhanh
Search Google: "từ khóa + baitap365" Ví dụ: "Bài 5 trang 13 SGK Vật lí 12 baitap365
