Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  > 0$.

+ Hàm số không có điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta  \le 0$.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có $1$ điểm cực trị nếu phương trình $y' = 0$ có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có $3$ điểm cực trị nếu phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có $1$ điểm cực trị hoặc có $3$ điểm cực trị.

+ Trường hợp có $1$ điểm cực trị thì đó là $x = 0$.

+ Trường hợp có $3$ điểm cực trị thì đó là $x = 0;x =  - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}}$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y',y''$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là điểm cực trị của hàm số:

+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

$\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$\Leftrightarrow ac < 0$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

$\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

$\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

$\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa ${x_1},{x_2}$ thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện ${x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}$ rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.$ và tìm $m$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$ .

Khi đó:

$y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b =  -2\sqrt[3]{a}\end{array}$

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác đều $\Leftrightarrow AB = BC = CA$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác có diện tích ${S_0}$ cho trước

$\Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác có diện tích ${S_0}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow$ Tìm $\max {S_0}$ với ${S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $\alpha$ cho trước

$\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha$

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác có ba góc nhọn

$\Leftrightarrow \alpha$ là góc ở đỉnh phải nhọn $\Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0$

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Lấy $y$ chia $y'$ ta được đa thức dư $g\left( x \right) = mx + n$.

- Bước 3: Kết luận: $y = mx + n$ là đường thẳng cần tìm.