1. Quan hệ chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b,$ trong đó $b \ne 0,$ nếu có số tự nhiên $x$ sao cho $b.x = a$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$ và ta có phép chia hết $a:b = x$, kí hiệu là $a \vdots b$.

Ước và bội

a. Định nghĩa

- Nếu có số tự nhiên $a$  chia hết cho số tự nhiên $b$  thì ta nói $a$  là bội của $b,$ còn $b$ là ước của $a.$

b. Cách tìm bội

- Ta có thể tìm các bội của một số khác $0$ bằng cách  nhân  số đó lần lượt với $0,1,2,3,...$

c. Cách tìm ước

- Ta có thể tìm các ước của $a$$\left( {a > 1} \right)$   bằng cách  lần lượt chia $a$  cho các số tự nhiên từ $1$  đến $a$  để xét xem $a$  chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của $a.$

Tính chất chia hết của môt tổng

- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

$a\, \vdots \,m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m$ 

- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

$a \not {\vdots\, m};\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)  \not {\vdots}\, m$

Mở rộng

Tính chất 3: $a \vdots m \Rightarrow k.a \vdots m\,\,\left( {k \in N} \right)$

Tính chất 4: $a \vdots m;\,b \vdots m \Rightarrow ab \vdots m$

Tính chất 5: $a \vdots b \Rightarrow {a^n} \vdots {b^n}$

2. Dấu hiệu chia hết

3. Số nguyên tố. Hợp số

a. Định nghĩa

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1,$  chỉ có $2$  ước là $1$  và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1,$ có nhiều hơn $2$ ước.

b. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Để tìm một ước nguyên tố của $a$ ta có thể làm như sau:

Bước 1: Chia $a$ cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần $2,3,5,7,11,13,...$

Bước 2: Số chia trong phép chia hết đầu tiên là một ước của $a$

- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn $1$  ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

- Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Các cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Sơ đồ cột:

Chia số $n$ cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng  xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng $1.$

Sơ đồ cây:

Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.

Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.

Nhận xét:

* Cách tính số lượng các ước của một số $m\left( {m > 1} \right)$:  ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:      

Nếu $m = {a^x}$ thì $m$  có $x + 1$ ước

Nếu $m = {a^x}.{b^y}$ thì $m$  có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$ ước

Nếu $m = {a^x}.{b^y}.{c^z}$ thì $m$  có $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)$ ước.

4. Ước chung và ước chung lớn nhất

a. Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) $x \in$ƯC$\left( {a;b} \right)$ nếu $a \vdots x$ và $b \vdots x.$

+) $x \in$ƯC$\left( {a;b;c} \right)$ nếu $a \vdots x$ ; $b \vdots x$ và $c \vdots x.$

b. Ước chung lớn nhất

+) Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

+) Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Chú ý:  Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

+) Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của ƯCLN của các số đó.

Ứng dụng trong rút gọn phân số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản: $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản nếu ƯCLN$\left( {a,b} \right) = 1$

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN$\left( {a,b} \right)$.

5. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) $x \in BC\left( {a;b} \right)$ nếu $x \vdots a$ và $x \vdots b$

+) $x \in BC\left( {a;b;c} \right)$ nếu $x \vdots a$; $x \vdots b$  và $x \vdots c$

b. Bội chung nhỏ nhất

+) Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

+) Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

+) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ứng dụng trong tìm mẫu chung của các phân số

Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.

Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.