Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {kx;ky} \right)$. Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow u .\overrightarrow v  = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow u  = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0$ và $k \ge 0$

c) $\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0$ và $k < 0$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {x';y'} \right)$.

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow u ,\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow v .$

b) Tính $A{B^2},O{A^2},O{B^2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ theo tọa độ của A, B.

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u  = \left( {0; - 5} \right),\;\overrightarrow v  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$

Cho ba vectơ $\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w  = ({x_3};{y_3}).$

a) Tính $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right),\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w$ theo tọa độ của các vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w .$

b) So sánh $\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right)$ và $\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w$

c) So sánh $\;\overrightarrow u .\overrightarrow v$ và $\overrightarrow v .\overrightarrow u$

Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Một lực $\overrightarrow F$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\overrightarrow F$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$ $(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \;).$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$.

b) Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ và lực $\overrightarrow {{F_1}}$.