Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$, đường thẳng $\Delta :y + \frac{1}{2} = 0$ và điểm $M(x;y)$. Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho $M$ cách đều  F và $\Delta$, một học sinh đã làm như sau:

+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên $\Delta$):

$MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} ,MH = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|$

+) Điều kiện để M cách đều F  và $\Delta$:

$\begin{array}{l}MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\left( * \right)\end{array}$

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Cho parabol (P) có tiêu điểm F  và đường chuẩn $\Delta$. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên $p > 0$

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$ và $\Delta :x + \frac{p}{2} = 0$

Xét điểm $M(x;y)$

a) Tính MF và $d\left( {M,\Delta } \right)$

b) Giải thích biểu thức sau:

$M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|$

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $\Delta :x + 1 = 0$

Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m