Hãy quan sát các đẳng thức sau:

$1 = {1^2}$

$1 + 3 = 4 = {2^2}$

$1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}$

$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}$

……

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).$

Xét đa thức $p(n) = {n^2} - n + 41.$

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta có

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$ ta có đẳng thức

${a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})$