Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

${(a + b)^1} = a + b$

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

${(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$

${(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$

Với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ trong khai triển của mỗi nhị thức ${(a + b)^n}$:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?

Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của ${(a + b)^7}$

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của ${(2x - 1)^4}$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

${(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b$

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}$

${(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}$

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...$

${(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...$

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n - k}(0 \le k \le n)$

b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0 + C_1^1$ và $C_2^1$, $C_2^0 + C_2^1$ và $C_3^1,...$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k$ và $C_n^k.$

Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp