Cho điểm $M(x;y)$nằm trên hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

a) Chứng minh rằng ${F_1}{M^2} - {F_2}{M^2} = 4cx$

b) Giả sử điểm $M(x;y)$ thuộc nhánh đi qua ${A_1}( - a;0)$ (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất $M{F_2} - M{F_1} = 2a$ đã biết để chứng minh $M{F_2} + M{F_1} =  - 2\frac{{cx}}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F_1} =  - a - \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_0}$

b) Giả sử điểm $M(x;y)$ thuộc nhánh đi qua ${A_2}(a;0)$ (Hình 5b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất $M{F_1} - M{F_2} = 2a$ đã biết để chứng minh $M{F_2} + M{F_1} = 2\frac{{cx}}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0};M{F_2} =  - a + \frac{c}{a}{x_0}$

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(x;y)$ trên hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh ${A_2}(a;0)$ trên hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$