Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)

Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề?

                 a) Huế là một thành phố của Việt Nam.

                 b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.

                 c) Hãy trả lời câu hỏi này!

                 d) $5 + 19 = 24.$

                 e) $6 + 81 = 25.$

                 f) Bạn có mang theo máy tính không?

                 g) $x + 2 = 11.$

                 A. 1.                                B. 2.                              C. 3.                              D. 4.

Câu 2: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng $a = 17658$ biết $\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16.$

A. 17700.            B. 17800.                  C. 17500.                 D. 17600.

Câu 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \vec 0.$                 B. $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} .$

C. $\left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right|.$           D. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} .$

Câu 4: Lớp 10E có $7$ học sinh giỏi Toán, $5$ học sinh giỏi Lý, $6$ học sinh giỏi Hóa, $3$ học sinh giỏi cả Toán và Lý, $4$ học sinh giỏi cả Toán và Hóa, $2$ học sinh giỏi cả Lý và Hóa, $1$ học sinh giỏi cả $3$ môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10E là

A. $9.$                            B. $10.$                          C. $18.$                          D. $28.$

Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình: $3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. $\left( {3;0} \right).$                     B. $\left( {3;1} \right).$ C. $\left( {2;1} \right).$         D. $\left( {0;0} \right).$

Câu 6: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

 

A. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge  - 2\end{array} \right..$             B. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y <  - 2\end{array} \right..$         C. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le  - 2\end{array} \right..$                    D. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y >  - 2\end{array} \right..$

Câu 7: Tam giác $ABC$ có $AB = 3,{\rm{ }}AC = 6$ và $\widehat A = 60^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

A. $R = 3$.         B. $R = 3\sqrt 3$.  C. $R = \sqrt 3$.   D. $R = 6$.

Câu 8: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí $A$, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc ${60^0}$. Tàu $B$ chạy với tốc độ $20$ hải lí một giờ. Tàu $C$ chạy với tốc độ $15$ hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

     Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

A. $61$ hải lí.   

B. $36$ hải lí.

C. $21$ hải lí.

D. $18$ hải lí.                                              

Câu 9: Tính giá trị biểu thức $S = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\cos ^2}110^\circ$.

A. $S = 0.$         B. $S = 1.$              C. $S = 2.$              D. $S = 4.$

Câu 10: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right).$

A. $P =  - 1.$      B. $P = 3{a^2}.$    C. $P =  - 3{a^2}.$ D. $P = 2{a^2}.$

Câu 11: Tìm tập xác định ${\rm{D}}$ của hàm số $y = \sqrt {6 - 2x}  - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}.$

A. ${\rm{D}} = \left[ { - 1;3} \right].$         B. ${\rm{D}} = \left( { - 1;3} \right).$          C. ${\rm{D}} = ( - 1;3].$                        D. ${\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].$

Câu 12: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {x - 3}  + 10}}{{x + 5}}$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:

A. $(7;1)$.                      B. $( - 5;2)$.                C. $(4;1,1)$.                 D. $(0;6)$.

Câu 13: Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Đặt $\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = \vec a;\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \vec b$. Xác định giá trị của $m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n$ để $\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b$.

     A. $m = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 2$      B. $m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2$                  C. $m = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 1$      D. $m = {\rm{\;}} - 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 1$

Câu 14: Tam giác $ABC$ có $AC = 4,{\rm{ }}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{ }}\widehat {ACB} = 75^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

A. ${S_{\Delta ABC}} = 8$.                     B. ${S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 3$. C. ${S_{\Delta ABC}} = 4$.      D. ${S_{\Delta ABC}} = 8\sqrt 3$.

Câu 15: Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$, $(a > 0)$ đồng biến trong khoảng nào sau đậy?

A. $\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).$                                      B. $\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).$                    C. $\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).$                           D. $\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).$

Câu 16: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)

 

Độ lệch chuẩn là

     A. 1,24                               B. 1,54                               C. 22,1                               D. 4,70

Câu 17: Cho tập hợp $A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{N}\left| x \right.$ là ước chung của $36\;{\rm{v\`a }}\;{\rm{120\} }}$. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $A$.

A. $A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}.$                B. $A = \left\{ {1;2;4;6;8;12} \right\}.$

C. $A = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}.$              D. $A = \left\{ {1;36;120} \right\}.$

 Câu 18: Cho hai tập hợp $A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A \cap B = B.$        B. $A \cup B = A.$        C. $A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.$            D. $B\backslash A = \left\{ {0;4} \right\}.$

Câu 19: Điểm $M\left( {0; - 3} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?

A. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\3x + 5y \le 1\end{array} \right..$ B. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 3\\3x + 5y \le  - 3\end{array} \right..$                             

C. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y >  - 3\\3x + 5y \ge 8\end{array} \right..$ D. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le  - 3\\3x + 5y \ge 0\end{array} \right..$

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất ${F_{\min }}$ của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = y--x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.$ là

A. ${F_{\min }} = 1.$                         B. ${F_{\min }} = 2.$ C. ${F_{\min }} = 3.$     D. ${F_{\min }} = 4.$

Câu 21: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là $\frac{5}{2}$và đi qua $A\left( {1; - 4} \right)$?

A. $y = {x^2} - 5x + 8$.                                      B. $y = 2{x^2} + 10x - 16$.

C. $y = {x^2} - 5x$.       D. $y =  - 2{x^2} + 5x + 1$.

Câu 22: Cho biết $\tan \alpha  =  - 3.$ Giá trị của $P = \frac{{6\sin \alpha  - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha  + 7\sin \alpha }}$ bằng bao nhiêu?

A. $P = \frac{4}{3}.$                           B. $P = \frac{5}{3}.$ C. $P =  - \frac{4}{3}.$     D. $P =  - \frac{5}{3}.$

Câu 23: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm $D$ sao cho $\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow {AD}$ bằng

     A. $\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$            B. $\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$     C. $\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$          D. $\frac{5}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

Câu 24: Cho hai vecto $\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b$ bất kỳ; $\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây không đúng?

     A. $0.\vec a = 0$                                                        B. $k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b$ C. $k.\vec 0 = \vec 0$                                                D. $h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a$

Câu 25: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$cm, $BC = 10$cm. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.

A. $r = 1$ cm.        B. $r = \sqrt 2$ cm. C. $r = 2$ cm.               D. $r = 3$ cm.

Câu 26: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng $x = 43{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}$ và chiều dài $y = 63{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}$. Tính chu vi $P$ của miếng đất đã cho.

A. $P = 212{\rm{m}} \pm 4{\rm{m}}.$                             B. $P = 212{\rm{m}} \pm 2{\rm{m}}.$

C. $P = 212{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}.$                          D. $P = 212{\rm{m}} \pm 1{\rm{m}}.$

Câu 27: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1  1  1  2  2  2  3  3  4  20 là:

     A. 1.                                   B. 3,9.                                C. 19.                                 D. 20.

Câu 28: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. $y =  - {x^2} + x - 1$.                                     B. $y = 2{x^2} + 4x + 1$.       C. $y = {x^2} - 2x - 1$.                                   D. $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Câu 29: Bảng biến thiên của hàm số $y =  - {x^2} + 4x - 5$ là:

A.           B. 

C.            D. 

Câu 30: Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .$

A. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}.$ B. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$            C. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}.$                  D. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \frac{{{a^2}}}{2}.$

Phần 2: Tự luận (3 điểm)

Câu 1: Kết quả dự báo nhiệt độ cao nhất trong 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 được

cho ở bảng sau:

Ngày	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Nhiệt độ ${(^o}C)$	23	25	26	27	27	27	27	21	19	18

  (Nguồn: https://nchmf.gov.vn)

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng trên.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

a) $|\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |$

b) $|2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |$

c) $|4\overrightarrow {{\rm{MA}}}  + \overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |$

Câu 3:  Tìm parabol (P) $y = a{x^2} + bx + c$ biết (P) có đỉnh $I(1; - 2)$ và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được. 

----- HẾT -----

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)

 

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Cách giải:

Các câu c), f), g) không phải là mệnh đề

Chọn C.

Câu 2 (TH):

Cách giải:

$\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16 \Rightarrow d = 16$

Hàng lớn nhất của d là hàng chục nên ta làm tròn số $a = 17658$ đến hàng trăm, kết quả là: $17700.$

Chọn A.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trung điểm:  $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0$ với O là trung điểm của AB.

Sử dụng quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

Cách giải:

Xét các đáp án:

Ÿ Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0.$

Ÿ Đáp án B. Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành).

Ÿ Đáp án C. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\\\left| {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = BD\end{array} \right.$.

Ÿ Đáp án D. Do $\overrightarrow {CD}  \ne \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} } \right) \ne \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} } \right).$

Chọn D.

Câu 4 (TH):

Cách giải:

Ta dùng biểu đồ Ven để giải:

Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp 10E

     B là tập hợp các học sinh giỏi Lý của lớp 10E

     C là tập hợp các học sinh giỏi Hóa của lớp 10E

$\Rightarrow n(A) = 7;n(B) = 5;n(6)$

Hơn nữa $n(A \cap B) = 3;n(A \cap C) = 4;n(B \cap C) = 2;n(A \cap B \cap C) = 1$

Số học sinh giỏi Toán và Lý mà không giỏi Hóa là: $3 - 1 = 2$ (học sinh)

Số học sinh giỏi Toán và Hóa mà không giỏi Lý là: $4 - 1 = 3$ (học sinh)

Số học sinh giỏi Lý và Hóa mà không giỏi Toán là: $2 - 1 = 1$ (học sinh)

 

Số học sinh chỉ giỏi Toán là: $7 - 2 - 1 - 3 = 1$ (học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi Lí là: $5 - 2 - 1 - 1 = 1$ (học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: $6 - 3 - 1 - 1 = 1$ (học sinh)

 

Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất $1$ trong $3$ môn là: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10$

Chọn B.

Câu 5 (TH):

Cách giải:

Ta có $3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0$.

Vì $- 2 + 3.1 - 1 > 0$ là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ $B$.

Chọn C.

Câu 6 (TH):

Cách giải:

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C.

Chọn điểm $M\left( {0;1} \right)$thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án B, ta có $\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.1 > 0\\0 + 3.1 <  - 2\end{array} \right.$: Sai.

Chọn D.

Câu 7 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$.

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin, ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$

$= {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos {60^ \circ } = 27 \Leftrightarrow B{C^2} = 27 \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} = A{C^2}.$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính $R = \frac{{AC}}{2} = 3$  

Chọn A.

Câu 8 (TH):

Cách giải:

Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có  và  

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {30^2} + {40^2} - 2.30.40.\cos {60^ \circ } = 900 + 1600 - 1200 = 1300$

Vậy $BC = \sqrt {1300}  \approx 36$(hải lí).

Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$.

Cách giải:

Hai góc $15^o$ và $75^o$ phụ nhau nên $\sin 75^o =\cos 15^o$

Hai góc $20^o$ và $110^o$ hơn kém nhau $90^o$ nên $\sin 20^o =-\cos 110^o$

Do đó, 

 $\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\sin ^2}{75^ \circ } + {\cos ^2}{110^ \circ }\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\left( { - \sin {{20}^ \circ }} \right)^2}\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + \sin {20^ \circ }^2\\ = 2\end{array}$

Chọn C.

Câu 10 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.

Cách giải:

Từ giả thiết suy ra $AC = a\sqrt 2$

Ta có $P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {AC} ^2}$

$=  - CA.CD.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} =  - a\sqrt 2 .a.\cos {45^ \circ } - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - 3{a^2}$

Chọn C.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

• $\sqrt {P(x)}$  có nghĩa khi $P(x) \ge 0$.
• $\frac{{Q(x)}}{{\sqrt {P(x)} }}$ có nghĩa khi $P(x) > 0$.

Cách giải:

Hàm số $y = \sqrt {6 - 2x}  - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x \ge 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x \le 3$

Vậy tập xác định $D = ( - 1;3]$

Chọn C.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Với $x =  - 5,x = 0$thì $y = \frac{{\sqrt {x - 3}  + 10}}{{x + 5}}$ không xác định. Suy ra điểm $( - 5;2)$ và $(0;6)$không thuộc đồ thị hàm số

Với $x = 4$ thì $y = \frac{{\sqrt {4 - 3}  + 10}}{{4 + 5}} = \frac{{11}}{9} \ne 1,1$. Suy ra điểm $(4;1,1)$không thuộc đồ thị hàm số.

 

Với $x = 7$ thì $y = \frac{{\sqrt {7 - 3}  + 10}}{{7 + 5}} = 1$. Suy ra điểm $(7;1)$ thuộc đồ thị hàm số.

Chọn A.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng phương pháp phân tích một vecto theo hai vecto cùng phương.

Tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

 

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0$$\Rightarrow \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB}$ .

Ta có: $\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC}$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \vec a - 2\vec b$$= {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB}$ $= {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB}$

Mà $\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b$ suy ra $m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2$.

Chọn B.

Câu 14 (TH):

Cách giải:

Ta có $\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ACB}} \right) = {75^ \circ } = \widehat {ACB}$

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB=AC=4.

Diện tích tam giác ABC là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = 4$  

Chọn C.

Câu 15 (NB):

Cách giải:

Với $a > 0$, ta có bảng biến thiên

 

Hàm số đồng biến trên $\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right).$

Chọn B.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \right]$

Với ${n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}$ lần lượt là tần số, tần suất của giá trị ${x_i}$.

Cách giải:

Bảng phân số tần số:

 

*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

$\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu}$(tạ)

*) Phương sai:

${s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]$$= 1,54$ (tạ)

*) Độ lệch chuẩn

$s = \sqrt {1,54}  \approx 1,24$

Chọn A.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Liệt kê các ước chung của 36 và 120.

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}36 = {2^2}{.3^2}\\120 = {2^3}.3.5\end{array} \right.$. Do đó $A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}$.

Chọn A.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

$A \cap B = \{ x \in A$ và $x \in B\} .$

$A \cup B = \{ x \in A$ hoặc $x \in B\} .$

$A\backslash B = \{ x \in A$ và $x \notin B\} .$

Cách giải:

Ta có: $A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.$

$A \cap B = \{ 1;3;4\}  \ne B.$

$A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;6;8\}  \ne A.$

$A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.$

$B\backslash A = \{ 6;8\}  \ne \left\{ {0;4} \right\}.$

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm M vào từng hệ bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ $M\left( {0; - 3} \right)$ vào biểu thức $2x - y$ta được: $2.0 - ( - 3) = 3$ $\Rightarrow$Loại B, D.

 Thay tọa độ $M\left( {0; - 3} \right)$ vào biểu thức $3x + 5y$ta được: $3.0 + 5.( - 3) =  - 15$ $\Rightarrow$Loại C

Chọn A.

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT

Bước 2. Xác định tọa độ đỉnh của miền nghiệm

Bước 3. Tính giá trị của F tại các đỉnh. KL giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x - 2 \le 0}\\{2y - x - 4 \ge 0}\\{x + y - 5 \le 0}\end{array}} \right..$ $\left( * \right)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng

        $\begin{array}{l}{d_1}:y - 2x - 2 = 0,\,\,{\rm{  }}{d_2}:2y - x - 4 = 0,{\rm{  }}\\{\rm{ }}{d_3}:x + y - 5 = 0.\end{array}$

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left( * \right)$ là phần mặt phẳng (tam giác $ABC$ kể cả biên) tô màu như hình vẽ.

 

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ $\left( * \right)$ là

                             $A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;3} \right),{\rm{ }}C\left( {1;4} \right).$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;2} \right) = 2\\F\left( {2;3} \right) = 1\\F\left( {1;4} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}{F_{\min }} = 1{\rm{ }}{\rm{.}}$

Chọn A.

Câu 21 (TH):

Cách giải:

Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

Đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là $\frac{5}{2}$và đi qua $A\left( {1; - 4} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a + b + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\a + b + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 5a\\a + b + c =  - 4\end{array} \right.$

$A\left( {1; - 4} \right)$ không thuộc hàm số $y = {x^2} - 5x + 8$=> Loại A.

Hàm số $y = 2{x^2} + 10x - 16$ có $b = 10,a = 2 \Rightarrow b \ne  - 5a$ => Loại B

Hàm số $y = {x^2} - 5x$ có $b =  - 5,a = 1 \Rightarrow b =  - 5a$, đi qua $A\left( {1; - 4} \right)$ (TM)

Hàm số $y =  - 2{x^2} + 5x + 1$ có $b = 5,a =  - 2 \Rightarrow b \ne  - 5a$ => Loại D

Chọn C.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho $\cos \alpha$ và biểu diễn biểu thức P theo $\tan \alpha$.

Cách giải:

Ta có  $P = \frac{{6\sin \alpha  - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha  + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha  - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{5}{3}$

Chọn B.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto.

Cách giải:

 

Ta có:

$\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

${\mkern 1mu}  = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)$$= \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$${\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

Chọn A.

Câu 24 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất của phép nhân véctơ với một số.

Cách giải:

Với $\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b$ tùy ý; $\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}$ ta có:

+) $0.\vec a = 0$ là đáp án sai vì $0.\vec a = \vec 0$.

+) $k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b$ (đúng)

+) $k.\vec 0 = \vec 0$ (đúng)

+) $h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a$ (đúng)

Chọn A.

Câu 25 (NB):

Cách giải:

Dùng Pitago tính được $AC = 8$, suy ra $p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 12$

Diện tích tam giác vuông $S = \frac{1}{2}AB.AC = 24$ .Lại có  $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}2cm$

Chọn C.

Câu 26 (TH):

Cách giải:

Chu vi của miếng đất là

          $P = 2\left[ {x + y} \right] = 2.\left[ {\left( {43 \pm 0,5} \right) + \left( {63 \pm 0,5} \right)} \right]$

        $= 2.\left[ {\left( {43 + 63} \right) \pm \left( {0,5 + 0,5} \right)} \right] = 212 \pm 2.$

Chọn B.

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Giá trị lớn nhất là 20

Giá trị nhỏ nhất là 1

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R = 20 - 1 = 19$

Chọn C.

Câu 28 (TH):

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)$ nên $c =  - 1$.

Tọa độ đỉnh $I\left( {1\,\,;\, - 2} \right)$, ta có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.$.

Vậy parabol cần tìm là: $y = {x^2} - 2x - 1$.

Chọn C.

Câu 29 (TH):

Cách giải:

Hàm số $y =  - {x^2} + 4x - 5$ có $a =  - 1 < 0$, nên loại C,D.

Hoành độ đỉnh ${x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2$

Chọn B.

Câu 30 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Cách giải:

Xác định được góc  $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat B$  nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^ \circ }$

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = AB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } =  - \frac{{{a^2}}}{2}$

Chọn C.

Phần 2: Tự luận (4 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a)

* Số trung bình của mẫu số liệu ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}$ kí hiệu là $\bar x$, được tính bằng công thức:

$\bar x = \frac{{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$

Trong đó m_k là tần số của giá trị x_k và $n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$.

Cách giải:

a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng là:

23    25    26    27    27    27    27    21     19    18

b)

* Nhiệt độ trung bình của 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 là:

$\bar x = \frac{{23 + 25 + 26 + 27 + 27 + 27 + 27 + 21 + 19 + 18}}{{10}} = 24$ ($^oC$)

* Phương sai

${s^2} = \frac{1}{{10}}({23^2} + {25^2} + {26^2} + {4.27^2} + {21^2} + {19^2} + {18^2}) - {24^2} = 11,2$

* Độ lệch chuẩn

$s = \sqrt {11,2}  \approx 3,35$

Câu 2 (VD):

Cách giải:

 

a) Gọi I là trung điểm ${\rm{BC}}$ ta có:

$|\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}} | \Leftrightarrow {\rm{ }}|\overrightarrow {{\rm{MI}}} | = |\overrightarrow {{\rm{CB}}} | \Leftrightarrow {\rm{MI}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}$

Vậy tập hợp điểm ${\rm{M}}$ là đường tròn tâm ${\rm{I}}$, bán kính ${\rm{R}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}$.

b) Gọi ${\rm{K}}$ là điểm thoả mān:

L là điểm thoả mān: $3\overrightarrow {{\rm{LB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{LC}}}  = \vec 0$

Ta có: $|2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |$

$\Leftrightarrow |5\overrightarrow {{\rm{MK}}} | = |5\overrightarrow {{\rm{ML}}} | \Leftrightarrow {\rm{MK}} = {\rm{ML}}$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm ${\rm{M}}$ là đường trung trực của đoạn thẳng ${\rm{KL}}$.

c) Với I là trung điểm của ${\rm{BC}}$. Gọi ${\rm{J}}$ là điểm thoả mān: $4\overrightarrow {{\rm{JA}}}  + \overrightarrow {{\rm{JB}}}  + \overrightarrow {{\rm{JC}}}  = \vec 0$

Ta có:

$|4\overrightarrow {{\rm{MA}}}  + \overrightarrow {{\rm{MB}}}  + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - \overrightarrow {{\rm{MB}}}  - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |$

$\Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - 2\overrightarrow {{\rm{MI}}} | \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{IA}}} | \Leftrightarrow {\rm{MJ}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}} =$ const

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm ${\rm{J}}$ bán kính ${\rm{R}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}}$.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

Parabol (P) $y = a{x^2} + bx + c$ giao với Oy tại điểm có tọa độ $(0;c)$, do đó $c =  - 1$

(P) có hoành độ đỉnh ${x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b =  - 2a$

Điểm $I(1; - 2)$ thuộc (P) nên $a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 2$ hay $a + b =  - 1$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 1\\b =  - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\a = 1\end{array} \right.$

Vậy parabol cần tìm là $y = {x^2} - 2x - 1$

* Vẽ parabol

Đỉnh $I(1; - 2)$

Trục đối xứng $x = 1$

Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(2;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng

Lấy điểm C(-1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.