1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm ${x_0}$và hàm số $y = f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Ta nói hàm số $y = f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới ${x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và ${x_n} \to {x_0}$, ta có$f({x_n}) \to L$

Kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$, khi ${x_n} \to {x_0}$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$ thì

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)$

b, Nếu $f(x) \ge 0$ với mọi $x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $L \ge 0$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L$.

* Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^k} = {x_0}^k,k \in {\mathbb{Z}^ + }.\\b,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c.f(x)} \right] = c.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\end{array}$

($c \in \mathbb{R}$, nếu tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \in \mathbb{R}$)

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {{x_0};b} \right)$.

Ta nói $y = f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to {x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì,${x_0} < {x_n} < b$ và ${x_n} \to {x_0}$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$.

Ta nói $y = f(x)$có giới hạn bên phải là số L khi $x \to {x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$bất kì,$a < {x_n} < {x_0}$ và ${x_n} \to {x_0}$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L$.

*Chú ý:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$.
• Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x \to {x_0}$bằng $x \to {x_0}^ +$hoặc $x \to {x_0}^ -$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x \to  + \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì ${x_n} > a$ và ${x_n} \to  + \infty$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to  + \infty$.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;a} \right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x \to  - \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì ${x_n} < a$ và ${x_n} \to  - \infty$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to  - \infty$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên khoảng $\left( {{x_0};b} \right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn bên phải là $+ \infty$ khi $x \to {x_0}$ về bên phải nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì thỏa mãn ${x_0} < {x_n} < b$ và ${x_n} \to {x_0}$ ta có $f({x_n}) \to  + \infty$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  + \infty$

Ta nói hàm số $f(x)$ ó giới hạn bên phải là $- \infty$ khi $x \to {x_0}$ về bên trái nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì thỏa mãn $a < {x_n} < {x_0}$ và ${x_n} \to {x_0}$ ta có $f({x_n}) \to  + \infty$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  + \infty$

Các giới hạn một bên$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  - \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  - \infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }.$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty ,$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty ,$ k là số nguyên dương lẻ.
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty \left( {a \in \mathbb{R}} \right)$
• Giới hạn vô cực

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) =  + \infty$hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) =  - \infty$thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \left[ {f(x).g(x)} \right]$ được tính như sau:

 

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_0}^ +$thành ${x_0}^ -$(hoặc $+ \infty$,$- \infty$)