Dân số của thành phố A tăng theo từng năm kể từ năm 2000 đến nay. Giả sử số dân của thành phố trên được ước tính bởi công thức $f\left( t \right) = \frac{{30t + 18}}{{t + 6}}$ (nghìn người), trong đó $t$ là số năm kể từ năm $2000$. Chẳng hạn, ở thời điểm năm 2020 thì $t = 2020 - 2000 = 20$.

a) Nếu xem $y = f\left( t \right)$ là hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ thì đạo hàm của nó biểu thị cho đại lượng nào?

b) Tính tốc độ tăng dân số của thành phố A vào năm 2005 và 2010 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Vào năm nào trong hai năm nêu trên, dân số của thành phố A tăng nhanh hơn?

c) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số đạt mức 0,5 nghìn người/năm?

Một bể chứa nước đang chứa $20{m^3}$ nước. Một người cần lấy nước để sử dụng nên đã mở van ở đáy bể để nước chảy vào thùng chứa. Giả sử thể tích nước trong thùng chứa tăng dần theo thời gian và được ước tính bởi hàm số $V\left( t \right) = t - \frac{1}{{80}}{t^2}\,\,\,\left( {0 \le t \le 40} \right)$.

a) Có thể xem tốc độ nước chảy vào thùng bằng với tốc độ tăng của thể tích nước trong thùng. Tính tốc độ nước chảy vào thùng chứa tại thời điểm $t = 5$ phút và $t = 15$ phút.

b) Nước chảy vào thùng chứa nhanh nhất tại thời điểm nào?

Để đo lường khả năng nắm vững kiến thức của sinh viên sau khi kết thức khóa học, một nhà nghiên cứu tiến hành cho sinh viên làm bài kiểm tra mỗi tháng trong vòng 12 tháng kể từ ngày kết thức khóa học. Giả sử điểm số trung bình $s\left( t \right)$ của các sinh viên đạt được trong bài kiểm tra ở tháng thứ $t$ được tính bởi $s\left( t \right) = 7.{e^{ - 0,2t}} + 1$ với $s\left( t \right)$ tính bằng điểm, $0 \le t \le 12$. Nếu xem $y = s\left( t \right)$ là hàm số xác định trên $\left[ {0;12} \right]$ thì $\left| {s'\left( t \right)} \right|$ biểu thị tốc độ giẩm điểm số tại tháng thứ $t$ trong đợt khảo sát.

Tính tốc độ giảm điểm số tại $t = 2$ và $t = 6$. Tại thời điểm nào trong hai thời điểm trên, điểm số của các sinh viên được khảo sát giảm nhanh hơn?

Cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số $y = f\left( t \right) = 0,00031{t^3} - 0,02396{t^2} + 0,76806t + 3,3$ và có đồ thị như sau (nguồn: https://www.vinmec.com): 

a) Tính tốc độ tăng cân nặng của bé gái tại thời điểm 5 tháng tuổi.

b) Trong ba thời điểm $t = 5;t = 10;t = 15$, thời điểm nào cân nặng bé gái tăng nhanh nhất?