Đề bài

Giả sử ${u_n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và ${u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}$.

a) Chứng tỏ rằng ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Từ đó suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ đầu tiên.

Tinh $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$