Vì góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰ nên góc giữa hai đường thẳng có thể bằng 90⁰.

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P nên $d \bot d' \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0}$

Điều kiện: $x > 0$

${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right) \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} + x = 5x + 12 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( L \right)\\x = 6\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 6$

${\log _{1000}}{1000^3} = 3$

${\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2x}} < {25^{1 - x}} \Leftrightarrow {5^{\frac{{ - 2x}}{2}}} < {5^{2\left( {1 - x} \right)}} \Leftrightarrow  - x < 2 - 2x\left( {do\;5 > 1} \right) \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$, mà $B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)$ nên $AA' \bot B'D'$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng ${90^0}$.

Ta có: $\frac{1}{{{a^{ - 3}}}} = {a^3} = {a^{\sqrt 9 }}$ nên ${a^{\sqrt 8 }} < {a^{\sqrt 9 }}$

Vì $\sqrt 8  < \sqrt 9$, mà ${a^{\sqrt 8 }} < {a^{\sqrt 9 }}$ nên $a > 1$. Do đó, $a = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: $\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}$.

Ta thấy đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ đi qua điểm $\left( { - 1;3} \right)$ và (0;1) nên hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ là hàm số cần tìm.

${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 3 \le \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \le \frac{{11}}{3}\end{array} \right.$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$.

Vì ABCD là hình thang vuông tại A nên $AB \bot AD$.

Ta có: $AB \bot AD$, $SA \bot AB$ và SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD)

Do đó, $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$. Suy ra, $\left( {AB,SD} \right) = {90^0}$.

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng ${90^0}$.

Hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}$ được gọi là hàm số mũ.

Có duy nhất một đường thẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 1}} = {64^{2x}} \Leftrightarrow {4^{ - 2\left( {x + 1} \right)}} = {4^{3.2x}} \Leftrightarrow  - 2x - 2 = 6x \Leftrightarrow 8x =  - 2 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{4}$

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$.

${4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}} = {2^{2{{\log }_{{2^{\frac{1}{2}}}}}3}} = {2^{4{{\log }_2}3}} = {2^{{{\log }_2}{3^4}}} = 81$

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$

Do đó, $\left( {SA,CD} \right) = \left( {SA,AB} \right) = {180^0} - \widehat {SAB} = {80^0}$

${\log _a}b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0,a \ne 1,b > 0$.

${2^{2x - 1}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 1 = x \Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$

${\pi ^{x - 3}} = \frac{1}{\pi } \Leftrightarrow {\pi ^{x - 3}} = {\pi ^{ - 1}} \Leftrightarrow x - 3 =  - 1 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

${2^x} = 9 \Leftrightarrow x = {\log _2}9$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = {\log _2}9$.

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Mà ABCD là hình chữ nhật nên $BC \bot AB$

Ta có: $SA \bot BC,BC \bot AB,$ AB và SA cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).

Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$

Nếu hàm số $s = f\left( t \right)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f'\left( {{t_0}} \right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm ${t_0}$.

Vì $2 > 1$ nên hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {2^3} = 8;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}$

Suy ra: $M = 8,m = \frac{1}{4} \Rightarrow Mm = 8.\frac{1}{4} = 2$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, có đạo hàm tại ${x_o} \in \left( {a;b} \right)$. Đại lượng $\Delta x = x - {x_0}$ gọi là số gia của biến tại ${x_0}$. Đại lượng $\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x = {x_0} + \Delta x$ và $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$, mà $BC \bot SH$ và SA và SH cắt nhau tại S và nằm trong mặt phẳng (SAH) nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Lại có: $AH \subset \left( {SAH} \right)$ nên $BC \bot AH$.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, do đó, MN//BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $AC \bot BD$

Vì $AC \bot BD$, MN//BD nên $AC \bot MN \Rightarrow \left( {AC,MN} \right) = {90^0}$.

${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3  = {\log _5}15 - {\log _5}3 = {\log _5}\frac{{15}}{3} = {\log _5}5 = 1$

Đồ thị hàm số hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

$P = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 + \sqrt 2 }}} \right)}^{3 - \sqrt 2 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1 + 7 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}}} = \frac{{{a^8}}}{{{a^7}}} = a$

$y' = \frac{{\left( {2 + \sin 3x} \right)'}}{{2\sqrt {2 + \sin 3x} }} = \frac{{3\cos 3x}}{{2\sqrt {2 + \sin 3x} }}$

Với a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý thì ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$.

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x$

$y' = \left( {{x^3}} \right)' = 3{x^2}$