Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 4

Câu 1 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
${4^{ - 6}} = {6^{ - 4}}$ .
B
${4^{ - 6}} = \frac{1}{{{4^6}}}$ .
C
${4^{ - 6}} = \frac{1}{{{6^4}}}$ .
D
${4^{ - 6}} = {\left( { - 4} \right)^6}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ .

Lời giải chi tiết :

${4^{ - 6}} = \frac{1}{{{4^6}}}$

Đáp án B.

Câu 2 :

Chọn đáp án đúng.

Cho số thực a và số nguyên dương n $\left( {n \ge 2} \right)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:

A
${a^n} = b$ .
B
${b^n} = a$ .
C
$a.n = b$ .
D
$a.b = n$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực a và số nguyên dương n $\left( {n \ge 2} \right)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu ${b^n} = a$ .

Lời giải chi tiết :

Cho số thực a và số nguyên dương n $\left( {n \ge 2} \right)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu ${b^n} = a$ .

Đáp án B.

Câu 3 :

Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5$ .
B
$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = - 1 - \sqrt 5$ .
C
$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = - 1 + \sqrt 5$ .
D
$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 5$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ khi n lẻ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5$ .

Đáp án A.

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức $\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }}$ được kết quả là:

A
$\frac{{6560}}{9}$ .
B
$\frac{{6562}}{9}$ .
C
$\frac{{6560}}{3}$ .
D
$\frac{{6562}}{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương, $\alpha ,\beta$ là những số thực bất kì thì: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }},{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$ .

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ .

Lời giải chi tiết :

$\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }} = \left( {{3^{2\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}} - {3^{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }} = {3^{6 + 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 }} - {3^{2\sqrt 3 - 2 - 2\sqrt 3 }} = {3^6} - {3^{ - 2}} = {3^6} - \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{6560}}{9}$

Đáp án A.

Câu 5 :

Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức $\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}$

A
${a^2}{b^2}$ .
B
$ab$ .
C
${a^3}{b^4}$ .
D
${a^4}{b^3}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|$ nếu n là số chẵn.

$\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}$ (các biểu thức đều có nghĩa)

Lời giải chi tiết :

$\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{{\left( {{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}} \right)}^2}}}{{\sqrt[6]{{{{\left( {{a^2}b} \right)}^6}}}}} = \frac{{{{\left( {{a^3}{b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2}b}} = \frac{{{a^6}{b^4}}}{{{a^2}b}} = {a^4}{b^3}$

Đáp án D.

Câu 6 :

Chọn đáp án đúng.

A
$\ln {e^2} = 2$ .
B
$\ln {e^2} = {e^2}$ .
C
$\ln {e^2} = e$ .
D
$\ln {e^2} = \frac{1}{{{e^2}}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với số thực dương a, b và $a \ne 1$ thì:

+ ${\log _a}{a^b} = b$

+ ${\log _e}b$ được viết là ln b

Lời giải chi tiết :

$\ln {e^2} = 2$

Đáp án A.

Câu 7 :

Chọn đáp án đúng.

Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của $\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}$ bằng:

A
$\ln \left( {ab} \right)$ .
B
$\ln \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)$ .
C
1.
D
0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với số thực dương a, b, c và $a \ne 1$ thì:

+ ${\log _e}b$ được viết là ln b.

+ ${\log _a}1 = 0$ , ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$ .

Lời giải chi tiết :

$\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a} = \ln \left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \right) = \ln 1 = 0$

Đáp án D.

Câu 8 :

Chọn đáp án đúng.

Cho $a > 0,a \ne 1,b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \ge 2$ ta có:

A
${\log _a}\sqrt[n]{b} = n{\log _a}b$ .
B
${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$ .
C
${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _b}a$ .
D
${\log _a}\sqrt[n]{b} = n{\log _b}a$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho $a > 0,a \ne 1,b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \ge 2$ ta có ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$ .

Lời giải chi tiết :

Cho $a > 0,a \ne 1,b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \ge 2$ ta có ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$ .

Đáp án B.

Câu 9 :

Cho ${\log _a}b = 4$ . Giá trị của ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right)$ bằng:

A
12.
B
13.
C
14.
D
11.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Với a, b là số thực dương và $a \ne 1$ thì $\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha ,\log {\,_a}{b^\alpha } = \alpha \log {\,_a}b$

+ Với $0 < a \ne 1,b,c > 0$ thì ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$ .

Lời giải chi tiết :

${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} = 3 + 2{\log _a}b = 3 + 2.4 = 11$

Đáp án D.

Câu 10 :

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn ${a^3}{b^2} = 1000$ . Giá trị của biểu thức $P = 3\log a + 2\log b$ là:

A
1.
B
2.
C
3.
D
4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Với a, b là số thực dương và $a \ne 1$ thì $\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha ,\log {\,_a}{b^\alpha } = \alpha \log {\,_a}b$ .

+ Với $0 < a \ne 1,b,c > 0$ thì ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$ .

Lời giải chi tiết :

$P = 3\log a + 2\log b = \log {a^3} + \log {b^2} = \log \left( {{a^3}{b^2}} \right) = \log 1000 = \log {10^3} = 3$

Đáp án C.

Câu 11 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ ?

A
$y = \ln 2x$ .
B
$y = {\log _{\frac{1}{\pi }}}x$ .
C
$y = {\log _{1 + \sqrt 3 }}x$ .
D
$y = \log x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < \frac{1}{\pi } < 1$ nên hàm số $y = {\log _{\frac{1}{\pi }}}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Đáp án B.

Câu 12 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$y = {3^x}$ .
B
$y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và b đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $3 > 1$ nên hàm số $y = {3^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án A.

Câu 13 :

Đồ thị hàm số $y = {6^{2x}}$ luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A
(0; 1).
B
(0; -1).
C
(0; 6).
D
$\left( {0;\frac{1}{6}} \right)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn đi qua điểm (0; 1).

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = {6^{2x}}$ luôn đi qua điểm (0; 1).

Đáp án A.

Câu 14 :

Chọn đáp án đúng.

Hàm số $y = \log x$ có cơ số là:

A
1.
B
10.
C
e.
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \log x$ có cơ số là 10.

Đáp án B.

Câu 15 :

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x$ thể hiện ở hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A
$b < c < a$ .
B
$b < a < c$ .
C
$a < b < c$ .
D
$a < c < b$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên $b < 1$ .

Hàm số $y = {\log _a}x,y = {\log _c}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên $a > 1,c > 1$ .

Xét tại một điểm $x > 1$ thì: ${\log _c}x > {\log _a}x \Rightarrow {\log _c}x > \frac{1}{{{{\log }_x}a}} \Rightarrow {\log _c}x.{\log _x}a > 1 \Rightarrow a > c$

Do đó, $b < c < a$ .

Đáp án A.

Câu 16 :

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)$ là:

A
$D = \left[ {1;3} \right]$ .
B
$D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$ .
C
$D = \left( {1;3} \right)$ .
D
$D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \ln u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$ .

Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {u\left( x \right)} }}$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}3 - x > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > 1\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( {1;3} \right)$ .

Đáp án C.

Câu 17 :

Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 11A (đơn vị: cm), ta có bảng số liệu sau:

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {160;165} \right)$ là:

A
$160cm$ .
B
$162,5cm$ .
C
$165cm$ .
D
16.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $\left[ {a;b} \right)$ . Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {a;b} \right)$ là ${x_i} = \frac{{a + b}}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {160;165} \right)$ là: $\frac{{160 + 165}}{2} = 162,5\left( {cm} \right)$

Đáp án B.

Câu 18 :

Nếu hai biến cố A và B độc lập và $P\left( A \right) = 0,7,P\left( {AB} \right) = 0,28$ thì:

A
$P\left( B \right) = 0,42$ .
B
$P\left( B \right) = 0,4$ .
C
$P\left( B \right) = 0,98$ .
D
$P\left( B \right) = 0,196$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì hai biến cố A và B độc lập nên $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,28}}{{0,7}} = 0,4$

Đáp án B.

Câu 19 :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giá trị trung bình $\overline x$ của nhóm mẫu số liệu là:

A
$\overline x = \frac{{2\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}} \right)}}{n}$ .
B
$\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{{2n}}$ .
C
$\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{{n + 1}}$ .
D
$\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

+ Trung điểm ${x_i}$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$ , được tính theo công thức: $\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}$

Lời giải chi tiết :

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$ , được tính theo công thức: $\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}$

Đáp án D.

Câu 20 :

Chọn đáp án đúng.

Trong hộp kín có 6 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố:

A: “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”;

B: “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là:

A
Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh.
B
Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau.
C
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu đỏ.
D
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu xanh.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến cố $A \cup B$ có thể phát biểu dưới đạng mệnh đề nêu sự kiện là: “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.

Lời giải chi tiết :

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là: Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh

Đáp án A.

Câu 21 :

Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giao viên phụ trách muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia. Giáo viên có bao nhiêu cách chọn đội tốp ca như vậy?

A
70 cách.
B
40 cách.
C
30 cách.
D
50 cách.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu $\Omega$ . Đặt $C = A \cup B$ , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là $A \cup B$ .

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu $\Omega$ . Đặt $C = A \cap B$ , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là $C = A \cap B$ hay AB.

Lời giải chi tiết :

Xét các biến cố:

H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”.

A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.

B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

Khi đó, $H = A \cup B$ và $A \cap B = \emptyset$

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên $n\left( H \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right)$ .

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n\left( A \right) = C_4^2.C_5^1 = \frac{{4!}}{{2!.2!}}.\frac{{5!}}{{1!.4!}} = 6.5 = 30$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $n\left( B \right) = C_4^1.C_5^2 = \frac{{4!}}{{1!.3!}}.\frac{{5!}}{{2!.3!}} = 4.10 = 40$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là: $n\left( H \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) = 30 + 40 = 70$

Vậy có 70 cách chọn một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.

Đáp án A.

Câu 22 :

Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng $P\left( A \right) = 0,8$ và $P\left( {AB} \right) = 0,4$ . Xác suất của biến cố $\overline A \overline B$ là:

A
0,5.
B
0,2.
C
0,1.
D
0,3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Do A và B là hai biến cố độc lập $P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,8}} = 0,5$

Vì $\overline A$ là biến cố đối của biến cố A nên $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,8 = 0,2$ .

Vì $\overline B$ là biến cố đối của biến cố B nên $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5$ .

Xác suất của biến cố $\overline A \overline B$ là: $P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = 0,2.0,5 = 0,1$

Đáp án C.

Câu 23 :

Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê kết quả kiểm môn toán của lớp 11E như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

A
7,2.
B
7,5.
C
6,2.
D
6,5.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, ${n_i}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; ${n_{i - 1}},{n_{i + 1}}$ lần lượt là tần số của nhóm $i - 1;i + 1$ . Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${M_o}$ được tính theo công thức sau: ${M_o} = u + \left( {\frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}} \right).g$ .

Lời giải chi tiết :

Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $\left[ {5;7} \right)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u = 5;g = 2,{n_2} = 18$ . Nhóm 1 có tần số ${n_1} = 5$ và nhóm 3 có tần số ${n_3} = 10$ .

Mốt của mẫu số liệu là: ${M_o} = 5 + \frac{{18 - 5}}{{2.18 - 5 - 10}}.2 \approx 6,2$

Đáp án C.

Câu 24 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình vuông. Góc giữa hai đường thẳng AA’ và CD bằng:

A
${90^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${30^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì AB//CD nên $\left( {AA',CD} \right) = \left( {AA',AB} \right) = {90^0}$

Đáp án A.

Câu 25 :

Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm I bất kì thuộc cạnh AC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

A
$\left( {IM,MN} \right)$ .
B
$\left( {IN,NM} \right)$ .
C
$\left( {IM,IN} \right)$ .
D
$\left( {IM,IC} \right)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì MI//AB, IN//CD nên $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)$ .

Đáp án C.

Câu 26 :

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Góc giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A
${90^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${30^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN//AS. Suy ra, $\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {SAC}$ .

Vì tam giác ABC vuông tại B nên $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2}$

Vì $A{C^2} = S{A^2} + A{C^2}$ nên tam giác SAC vuông tại S (định lí Pythagore đảo)

Do đó, $\widehat {ASC} = {90^0}$ . Vậy $\left( {MN,SC} \right) = {90^0}$ .

Đáp án A.

Câu 27 :

Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh SC, BC sao cho tam giác IJC là tam giác đều. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng:

A
${60^0}$ .
B
${90^0}$ .
C
${120^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ .

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD có: $AB = BC = CD = DA$ nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, AD//BC.

Suy ra: $\left( {IJ,AD} \right) = \left( {IJ,BC} \right) = \widehat {CJI}$

Tam giác IJC là tam giác đều nên $\widehat {IJC} = {60^0}$ . Do đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng ${60^0}$ .

Đáp án A.

Câu 28 :

Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$SA \bot BC$ .
B
$SA \bot AC$ .
C
$SA \bot AB$ .
D
Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB,BC,CA \subset \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$ , $SA \bot AC$ , $SA \bot AB$ .

Đáp án D.

Câu 29 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
(ABCD) $\bot$ (A’B’C’D).
B
$BB' \bot \left( {ABCD} \right)$ .
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ và AA’//BB’ nên $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$

Đáp án B.

Câu 30 :

Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (P). Mệnh nào dưới đây đúng?

A
Có đúng hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
B
Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
C
Không tồn tại đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
D
Có vô số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án B.

Câu 31 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
Nếu đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với tất cả các đường thẳng thuộc mặt phẳng (P).
B
Nếu đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
C
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
D
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Đáp án D.

Câu 32 :

Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ $AH \bot DI\left( {H \in DI} \right)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là:

A
I.
B
H.
C
D.
D
C.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $AI \bot BC$ .

Vì tam giác DBC cân tại D nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $DI \bot BC$ .

Ta có: $AI \bot BC$ , $DI \bot BC$ , DI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AID) nên $BC \bot \left( {AID} \right)$ . Mà $AH \subset \left( {ADI} \right) \Rightarrow AH \bot CB$

Lại có: $AH \bot DI$ , DI và BC cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, $AH \bot \left( {BCD} \right)$ . Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là điểm H.

Đáp án B.

Câu 33 :

Cho hình chóp S. ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ , M là trung điểm của BC. Tam giác ABC cân tại A. Mệnh đề nào sau đây sai?

A
$BC \bot SB$ .
B
$BC \bot SM$ .
C
$SA \bot BC$ .
D
$BC \bot AM$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $BC \bot AM$

Vì $SA \bot BC$ , $BC \bot AM$ , SA và AM cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAM) nên $BC \bot \left( {SAM} \right)$ , mà $SM \subset \left( {SAM} \right)$ $\Rightarrow BC \bot SM$

Tam giác SBC có $BC \bot SM$ nên BC không thể vuông góc với SB. Do đó, câu A sai.

Đáp án A.

Câu 34 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và $SA = SC,{\rm{ }}SB = SD$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là:

A
A.
B
C.
C
O.
D
D.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $SO \bot AC$ .

Vì $SB = SD$ nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $SO \bot BD$ .

Vì $SO \bot AC$ , $SO \bot BD$ và BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ . Do đó, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm O.

Đáp án C.

Câu 35 :

Cho tứ diện ABCD có $DA \bot \left( {ABC} \right)$ , ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng:

A
${45^0}$ .
B
${60^0}$ .
C
${90^0}$ .
D
${70^0}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì K là trọng tâm của tam giác DBC, DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên $\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{1}{3}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên $\frac{{MG}}{{MA}} = \frac{1}{3}$

Tam giác DMA có: $\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{MG}}{{MA}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$ nên GK//AD

Mà $AD \bot \left( {ABC} \right)$ suy ra $GK \bot \left( {ABC} \right)$ . Mà $AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow GK \bot AB$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng ${90^0}$ .

Đáp án C.

Câu 1 :

Cho hàm số: $y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]$ .

a) Với $m = 3$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = 3$ ta có: $y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)$ .

Hàm số $y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)$ xác định khi ${x^2} + 8x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > - 4 + \sqrt {10} \\x < - 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.$

Vậy với $m = 3$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; - 4 - \sqrt {10} } \right) \cup \left( { - 4 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)$ .

b) Hàm số $y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1: Với $m = 2$ ta có: $f\left( x \right) = 6x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 2}}{3}$ .

Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 2$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với $m \ne 2$ .

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\ - {m^2} + 6m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt {10} \\m > 3 + \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + \sqrt {10}$

Vậy với $m \in \left( {3 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ , $AD = 2a,AB = BC = a$ . Chứng minh rằng:

a) Tam giác SBC là tam giác vuông.

b) $CD \bot SC$ .

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ .

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên $AB \bot BC$ .

Ta có: $SA \bot BC$ , $AB \bot BC$ , SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$ . Lại có, $SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow BC \bot SB$ . Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.

b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, $AI = ID = \frac{1}{2}AD = a$

Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), $AI = BC\left( { = a} \right)$ nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: $BC = AB$ nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà $\widehat {BAI} = {90^0}$ nên ABCI là hình vuông. Do đó, $\widehat {AIC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CID} = {90^0}$

Tam giác CID có: $\widehat {CID} = {90^0},CI = ID\left( { = a} \right)$ nên tam giác CID vuông cân tại I.

Suy ra: $\widehat {DCI} = {45^0}$ .

Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên $\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {ICB} = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}$

Suy ra: $\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = {90^0}$ hay $AC \bot CD$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC$

Ta có: $AC \bot CD$ , $SA \bot DC$ , SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $DC \bot \left( {SAC} \right)$ . Mà $SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot SC$

Câu 3 :

Ông A gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng 5 triệu đồng với lãi suất 0,3%/tháng. Tính số tiền mà ông A thu được từ ngân hàng sau 5 năm.

Phương pháp giải :

${a^n} = a.a...a\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)$ (có n thừa số a)

Lời giải chi tiết :

Đặt $a = 5$ triệu đồng, $r = 0,33\%$ .

Gọi ${P_n}$ là số tiền ông A thu được sau n tháng $\left( {n \ge 1} \right)$

Sau tháng thứ nhất, ông A tiết kiệm được: ${P_1} = a\left( {1 + r} \right)$ (triệu đồng)

Sau tháng thứ hai, ông A tiết kiệm được:

${P_2} = \left( {{P_1} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = \left[ {a\left( {1 + r} \right) + a} \right]\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^2} + a\left( {1 + r} \right)$ (triệu đồng)

Sau tháng thứ ba, ông A tiết kiệm được: ${P_3} = \left( {{P_2} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^3} + a{\left( {1 + r} \right)^2} + a\left( {1 + r} \right)$ (triệu đồng)

…

Sau tháng thứ n, ông A tiết kiệm được: ${P_n} = \left( {{P_{n - 1}} + a} \right)\left( {1 + r} \right) = a{\left( {1 + r} \right)^n} + a{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} + ... + a\left( {1 + r} \right)$ (triệu đồng)

Xét cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = a\left( {1 + r} \right)$ và công bội $q = 1 + r$ thì ${P_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

Vậy số tiền ông A nhận được từ ngân hàng sau 5 năm là:

${P_{60}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{60}}}}{{1 - q}} = 5.1,003.\frac{{1 - 1,{{003}^{60}}}}{{ - 0,003}} \approx 329$ (triệu đồng)

Vậy sau 5 năm ông A thu được từ ngân hàng khoảng 329 triệu đồng.