Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ là:

A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$.

B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

D. $\left( {1; + \infty } \right)$.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A. $y = x$.

B. $y =  - 2x$.

C. $y = 2x$.

D. $y = \frac{1}{2}x$

Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 1}$. Giá trị $f\left( { - 2} \right)$ bằng

A. $- 3$.

B. $3$.

C. $4$.

D. Không xác định.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$là

A. $\left( { - \infty ; - 2} \right)$.

B. $\left( { - \infty ;2} \right)$.

C. $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$, $(a \ne 0)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $x =  - \frac{b}{{2a}}.$

B. $x =  - \frac{c}{{2a}}.$

C. $x =  - \frac{\Delta }{{4a}}.$

D. $x = \frac{b}{{2a}}$.

Câu 6: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. $a > 0.$

B. $a < 0.$

C. $a = 1.$

D. $a = 2.$

Câu 7: Cho $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$ và $\Delta  = {b^2} - 4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A. $\Delta  < 0$.

B. $\Delta  = 0$.

C. $\Delta  > 0$.

D. $\Delta  \ge 0$.

Câu 8: Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${x^2} - x - 6 \le 0$.

A. $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)$.

B. $\left[ { - 2;3} \right]$.

C. $\left[ { - 3;2} \right]$.

D. $\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${x^2} - 4x + 4 > 0$.

A. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

B. $S = \mathbb{R}$.

C. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

D. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Câu 10: Phương trình $\sqrt {x - 1}  = x - 3$ có tập nghiệm là

A. $S = \left\{ 5 \right\}$.

B. $S = \left\{ {2;5} \right\}$.

C. $S = \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \emptyset$.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x}$là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$?

A. $\overrightarrow n  = \left( {a; - b} \right)$.

B. $\overrightarrow n  = \left( {b;a} \right)$.

C. $\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)$.

D. $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2; - 1} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 6t\end{array} \right.$.

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.$.

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Câu 14: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d:\,x - 2y - 1 = 0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. $x + 2y + 1 = 0$.

B. $2x - y = 0$.

C. $- x + 2y + 1 = 0$.

D. $- 2x + 4y - 1 = 0$.

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0$ và $\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0$.

A. ${90^ \circ }$.

B. ${120^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm $M\left( {5\,;\, - 1} \right)$ đến đường thẳng $3x + 2y + 13 = 0$ là:

A. $2\sqrt {13}$.

B. $\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}$.

C. $26$.

D. $\frac{{\sqrt {13} }}{2}$.

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. ${x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 30 = 0$.

B. ${x^2} + {y^2} - 3x - 2y + 30 = 0$.

C. $4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0$.

D. ${x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0$.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm $I\left( { - 1;2} \right)$, bán kính bằng $3$?

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$.

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$.

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

Câu 19: Đường elip $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1$ cắt trục tung tại hai điểm ${B_1}$, ${B_2}$. Độ dài ${B_1}{B_2}$ bằng

A. $2\sqrt 7$.

B. $\sqrt 7$.

C. $3$.

D. $6$.

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ là

A. ${F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)$.

B. ${F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)$.

C. ${F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)$.

D. ${F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)$.

Câu 21: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - x}  + \sqrt {x - 2}$ là

A. $D = \left( {2;4} \right)$

B. $D = \left[ {2;4} \right]$

C. $D = \left\{ {2;4} \right\}$

D. $D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$.

Câu 23: Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x \le 2\\{x^2} - 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x > 2\end{array} \right.$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. $\left( {0; - 3} \right)$

B. $\left( {3;6} \right)$

C. $\left( {2;5} \right)$

D. $\left( {2;1} \right)$

Câu 24: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. $y =  - {x^2} + x - 1$.

B. $y = 2{x^2} + 4x - 1$.

C. $y = {x^2} - 2x - 1$.

D. $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Câu 25: Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x$ với đường thẳng $d\,:\,y =  - x - 2$ là

A. $M\left( {0;\, - 2} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

B. $M\left( { - 1;\, - 1} \right)$, $N\left( { - 2;\,0} \right)$.

C. $M\left( {\, - 3;\,1} \right)$, $N\left( {3;\, - 5} \right)$.

D. $M\left( {1;\, - 3} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{x^2} - 3x - 15 \le 0$ là

A. $6$.

B. $5$.

C. $8$.

D. $7$.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm.

A. $m \in \left[ {0;28} \right]$.

B. $m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {28; + \infty } \right)$.

C. $m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {28; + \infty } \right)$.

D. $m \in \left( {0;28} \right)$.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1$ là

A. $0$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $1$.

Câu 29: Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là

A. $2x + y - 1 = 0$.

B. $- 2x + y - 1 = 0$.

C. $x + 2y + 1 = 0$.

D. $2x + 3y - 1 = 0$.

Câu 30: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 2;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y =  - 2 + 5t\end{array} \right.$ có phương trình tham số là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + 5t\end{array} \right..$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 2 + 3t\end{array} \right..$

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx + y - m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5$.

A. $m = 2.$

B. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

C. $m =  - \frac{1}{2}$.

D. Không tồn tại $m$.

Câu 32: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn đi qua ba điểm $A\left( {1;2} \right)$, $B\left( {5;2} \right)$, $C\left( {1; - 3} \right)$ có phương trình là.

A. ${x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0$.

B. $2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0$.

C. ${x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0$.

D. ${x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0$.

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;\,2} \right),\,B\left( {3,\,4} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\,3x + y - 3 = 0$, biết tâm của $\left( C \right)$ có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là

A. ${x^2} + {y^2} - 3x - 7y + 12 = 0.$

B. ${x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 5 = 0.$

C. ${x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.$

D. ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0.$

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình $\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100$. Tiêu cự của hypebol đó là

A. $2\sqrt {10}$.

B. $2\sqrt {104}$.

C. $\sqrt {10}$.

D. $\sqrt {104}$.

Câu 35: Cho parabol $\left( P \right):{y^2} = 8x$ có tiêu điểm là

A. $F\left( {0;4} \right)$.

B. $F\left( {0;2} \right)$.

C. $F\left( {2;0} \right)$.

D. $F\left( {4;0} \right)$.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;3} \right)$ và hai đường trung tuyến $BM:x + 7y - 10 = 0$và p$CN:x - 2y + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y = \frac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2}  - 1}}$xác định trên $\left( {0;1} \right)$.

 

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ biết $H\left( {3;2} \right)$, $G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng $BC$ có phương trình $x + 2y - 2 = 0$. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$?

 

-------- Hết --------

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. B	Câu 3. B	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. B	Câu 7. A
Câu 8. B	Câu 9. A	Câu 10. A	Câu 11. C	Câu 12. D	Câu 13. D	Câu 14. D
Câu 15. C	Câu 16. A	Câu 17. A	Câu 18. D	Câu 19. A	Câu 20. D	Câu 21. B
Câu 22. C	Câu 23. B	Câu 24. D	Câu 25. D	Câu 26. A	Câu 27. D	Câu 28. D
Câu 29. A	Câu 30. B	Câu 31. B	Câu 32. C	Câu 33. C	Câu 34. B	Câu 35. C

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ là:

A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$.

B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

D. $\left( {1; + \infty } \right)$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Đáp án C.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A. $y = x$.

B. $y =  - 2x$.

C. $y = 2x$.

D. $y = \frac{1}{2}x$

Lời giải

Hàm số $y = ax + b$ với $a \ne 0$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a < 0$.

Đáp án B.

Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 1}$. Giá trị $f\left( { - 2} \right)$ bằng

A. $- 3$.

B. $3$.

C. $4$.

D. Không xác định.

Lời giải

Ta có $f\left( { - 2} \right) = \sqrt {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} + 1}  = 3$.

Đáp án B.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$là

A. $\left( { - \infty ; - 2} \right)$.

B. $\left( { - \infty ;2} \right)$.

C. $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$có $a = 1 > 0$ nên đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$.

Vì vậy hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án D.

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$, $(a \ne 0)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $x =  - \frac{b}{{2a}}.$

B. $x =  - \frac{c}{{2a}}.$

C. $x =  - \frac{\Delta }{{4a}}.$

D. $x = \frac{b}{{2a}}$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 6: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. $a > 0.$

B. $a < 0.$

C. $a = 1.$

D. $a = 2.$

Lời giải

Bề lõm hướng xuống $a < 0.$

Đáp án B.

Câu 7: Cho $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$ và $\Delta  = {b^2} - 4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A. $\Delta  < 0$.

B. $\Delta  = 0$.

C. $\Delta  > 0$.

D. $\Delta  \ge 0$.

Lời giải

Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi $\Delta  < 0$.

Đáp án A.

Câu 8: Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${x^2} - x - 6 \le 0$.

A. $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)$.

B. $\left[ { - 2;3} \right]$.

C. $\left[ { - 3;2} \right]$.

D. $\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Ta có: ${x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3$.

Tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left[ { - 2;3} \right]$.

Đáp án B.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${x^2} - 4x + 4 > 0$.

A. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

B. $S = \mathbb{R}$.

C. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

D. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Lời giải

* Bảng xét dấu:

* Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Đáp án A.

Câu 10: Phương trình $\sqrt {x - 1}  = x - 3$ có tập nghiệm là

A. $S = \left\{ 5 \right\}$.

B. $S = \left\{ {2;5} \right\}$.

C. $S = \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \emptyset$.

Lời giải

Ta có: $\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ 5 \right\}$.

Đáp án A.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x}$là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải

Ta có $\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x}$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$x = 1$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án C.

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$?

A. $\overrightarrow n  = \left( {a; - b} \right)$.

B. $\overrightarrow n  = \left( {b;a} \right)$.

C. $\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)$.

D. $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$.

Lời giải

Ta có một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right)$là $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$.

Do đó chọn đáp án

D. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - a;b} \right).$

Đáp án D.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2; - 1} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 6t\end{array} \right.$.

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.$.

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Lời giải

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.$

Đáp án D.

Câu 14: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d:\,x - 2y - 1 = 0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. $x + 2y + 1 = 0$.

B. $2x - y = 0$.

C. $- x + 2y + 1 = 0$.

D. $- 2x + 4y - 1 = 0$.

Lời giải

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

.+) Với $d{}_1:x + 2y + 1 = 0$ có $\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d$ cắt $d{}_1$.

.+) Với $d{}_2:2x - y = 0$ có $\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d$cắt $d{}_2$.

.+) Với $d{}_3: - x + 2y + 1 = 0$ có $\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d$trùng $d{}_3$.

.+) Với $d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0$ có $\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d$ song song $d{}_4$.

Đáp án D.

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0$ và $\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0$.

A. ${90^ \circ }$.

B. ${120^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$, đường thẳng $\Delta '$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta ,\Delta '.$$\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1 - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 3} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = {60^ \circ }$.

Đáp án C.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm $M\left( {5\,;\, - 1} \right)$ đến đường thẳng $3x + 2y + 13 = 0$ là:

A. $2\sqrt {13}$.

B. $\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}$.

C. $26$.

D. $\frac{{\sqrt {13} }}{2}$.

Lời giải

Khoảng cách $d = \frac{{\left| {3.5 + 2.\left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13}$.

Đáp án A.

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. ${x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 30 = 0$.

B. ${x^2} + {y^2} - 3x - 2y + 30 = 0$.

C. $4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0$.

D. ${x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0$.

Lời giải

Phương trình đường tròn đã cho có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0.$

Xét đáp án A, ta có $a = 3,\,b = 5,\,c = 30$ $\Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = 4 > 0$.

Đáp án A.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm $I\left( { - 1;2} \right)$, bán kính bằng $3$?

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$.

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$.

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

Lời giải

Phương trình đường tròn tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ và bán kính $R = 3$ là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$.

Đáp án D.

Câu 19: Đường elip $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1$ cắt trục tung tại hai điểm ${B_1}$, ${B_2}$. Độ dài ${B_1}{B_2}$ bằng

A. $2\sqrt 7$.

B. $\sqrt 7$.

C. $3$.

D. $6$.

Lời giải

Ta có $x = 0 \Rightarrow y =  \pm \sqrt 7$.

Elip cắt trục tung tại hai điểm ${B_1}\left( {0; - \sqrt 7 } \right)$, ${B_2}\left( {0;\sqrt 7 } \right)$. Suy ra ${B_1}{B_2} = 2\sqrt 7$.

Đáp án A.

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ là

A. ${F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)$.

B. ${F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)$.

C. ${F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)$.

D. ${F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)$.

Lời giải

Gọi ${F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)$ là hai tiêu điểm của $\left( H \right)$.

Từ phương trình $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$, ta có: ${a^2} = 4$ và ${b^2} = 3$ suy ra ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)$.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của $\left( H \right)$là ${F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)$.

Đáp án D.

Câu 21: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - x}  + \sqrt {x - 2}$ là

A. $D = \left( {2;4} \right)$

B. $D = \left[ {2;4} \right]$

C. $D = \left\{ {2;4} \right\}$

D. $D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}4 - x \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\x \ge 2\end{array} \right.$ suy ra TXĐ: $D = \left[ {2;4} \right]$.

Đáp án B.

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$.

Lời giải

Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Đáp án C.

Câu 23: Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x \le 2\\{x^2} - 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x > 2\end{array} \right.$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. $\left( {0; - 3} \right)$

B. $\left( {3;6} \right)$

C. $\left( {2;5} \right)$

D. $\left( {2;1} \right)$

Lời giải

Thay tọa độ điểm $\left( {0; - 3} \right)$vào hàm số ta được : $f\left( 0 \right) = 3 \ne  - 3$ nên loại đáp án A

Thay tọa độ điểm $\left( {3;6} \right)$vào hàm số ta được : $f\left( 3 \right) = 9 - 3 = 6$, thỏa mãn nên chọn đáp án B

Đáp án B.

Câu 24: Cho parabol $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. $y =  - {x^2} + x - 1$.

B. $y = 2{x^2} + 4x - 1$.

C. $y = {x^2} - 2x - 1$.

D. $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Lời giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)$ nên $c =  - 1$.

Tọa độ đỉnh $I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)$, ta có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 4\end{array} \right.$.

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2{x^2} - 4x - 1$.

Đáp án D.

Câu 25: Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x$ với đường thẳng $d\,:\,y =  - x - 2$ là

A. $M\left( {0;\, - 2} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

B. $M\left( { - 1;\, - 1} \right)$, $N\left( { - 2;\,0} \right)$.

C. $M\left( {\, - 3;\,1} \right)$, $N\left( {3;\, - 5} \right)$.

D. $M\left( {1;\, - 3} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

Lời giải

Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

${x^2} - 4x =  - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là $M\left( {1;\, - 3} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

Đáp án D.

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{x^2} - 3x - 15 \le 0$ là

A. $6$.

B. $5$.

C. $8$.

D. $7$.

Lời giải

Xét $f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15$.

$f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {129} }}{4}$.

Ta có bảng xét dấu:

 

 Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]$.

Do đó bất phương trình có $6$ nghiệm nguyên là $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Đáp án A.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm.

A. $m \in \left[ {0;28} \right]$.

B. $m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {28; + \infty } \right)$.

C. $m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {28; + \infty } \right)$.

D. $m \in \left( {0;28} \right)$.

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ${\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0$ $0 < m < 28$

Đáp án D.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1$ là

A. $0$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $1$.

Lời giải

Phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 1 = {\left( {4x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{4}\\15{x^2} - 5x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\left( l \right)\\x = \frac{1}{3}\left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.

Đáp án B.

Câu 29: Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là

A. $2x + y - 1 = 0$.

B. $- 2x + y - 1 = 0$.

C. $x + 2y + 1 = 0$.

D. $2x + 3y - 1 = 0$.

Lời giải

Đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.$$\Rightarrow y =  - 9 - 2\left( {x - 5} \right)$$\Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

Đáp án A.

Câu 30: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 2;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y =  - 2 + 5t\end{array} \right.$ có phương trình tham số là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + 5t\end{array} \right..$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 2 + 3t\end{array} \right..$

Lời giải

$\left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 2;1} \right) \in d\\{{\vec u}_\Delta } = \left( { - 3;5} \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 2;1} \right) \in d\\{{\vec n}_d} = \left( { - 3;5} \right) \to {{\vec u}_d} = \left( {5;3} \right)\end{array} \right. \to d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Đáp án B.

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx + y - m + 4 = 0$ bằng $2\sqrt 5$.

A. $m = 2.$

B. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

C. $m =  - \frac{1}{2}$.

D. Không tồn tại $m$.

Lời giải

$d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}  \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right..$

Đáp án B.

Câu 32: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn đi qua ba điểm $A\left( {1;2} \right)$, $B\left( {5;2} \right)$, $C\left( {1; - 3} \right)$ có phương trình là.

A. ${x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0$.

B. $2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0$.

C. ${x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0$.

D. ${x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0$.

Lời giải

Gọi $\left( C \right)$ là phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ với tâm $I\left( {a;b} \right)$

$\Rightarrow \left( C \right)$có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$. Vì đường tròn $\left( C \right)$ đi qua qua ba điểm $A,B,C$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c =  - 5\\ - 10a - 4b + c =  - 29\\ - 2a + 6b + c =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ${x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0$.

Đáp án C.

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;\,2} \right),\,B\left( {3,\,4} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\,3x + y - 3 = 0$, biết tâm của $\left( C \right)$ có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là

A. ${x^2} + {y^2} - 3x - 7y + 12 = 0.$

B. ${x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 5 = 0.$

C. ${x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.$

D. ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0.$

Lời giải

Ta có : $\overrightarrow {AB}  = (2;2)$ ; đoạn $AB$ có trung điểm $M\left( {2;\,3} \right)$

$\Rightarrow$Phương trình đường trung trực của đoạn $AB$ là $d:\,x + y - 5 = 0$.

Gọi $I$ là tâm của $\left( C \right)$ $\Rightarrow I \in d$$\Rightarrow I\left( {a;\,5 - a} \right)\,,\,a \in \mathbb{Z}.$

Ta có: $R = IA = d\left( {I;\,\Delta } \right) = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  = \frac{{\left| {2a + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I\left( {4;\,1} \right),\,R = \sqrt {10} .$

Vậy phương trình đường tròn là: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.$

Đáp án C.

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình $\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100$. Tiêu cự của hypebol đó là

A. $2\sqrt {10}$.

B. $2\sqrt {104}$.

C. $\sqrt {10}$.

D. $\sqrt {104}$.

Lời giải

$\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

$a = 10,b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {104}$.

Tiêu cự của hypebol là $2\sqrt {104}$.

Đáp án B.

Câu 35: Cho parabol $\left( P \right):{y^2} = 8x$ có tiêu điểm là

A. $F\left( {0;4} \right)$.

B. $F\left( {0;2} \right)$.

C. $F\left( {2;0} \right)$.

D. $F\left( {4;0} \right)$.

Lời giải

Ta có $2p = 8 \Rightarrow p = 4$.

Parabol có tiêu điểm $F\left( {2;0} \right)$.

Đáp án C.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

 

Lời giải

 

Gắn hệ trục tọa độ Oxy  như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ với $a < 0$.

Do parabol $(P)$ đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng $x = 0 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$ .

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên $G\left( {0;4} \right) \Rightarrow c = 4$

$\Rightarrow \left( P \right):y = a{x^2} + 4$.

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên $E\left( {2;3} \right) \Rightarrow 3 = 4a + 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{4}$ .

Vậy $\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4$.

Ta có $- \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.$  nên $A\left( { - 4;0} \right);B\left( {4;0} \right)$ hay $AB = 8$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;3} \right)$ và hai đường trung tuyến $BM:x + 7y - 10 = 0$ và $CN:x - 2y + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

Lời giải

 

Vì $B \in BM$ nên tọa độ điểm $B$ có dạng $B\left( { - 7b + 10;\,b} \right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó tọa độ điểm $G$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + 7y - 10 = 0\\x - 2y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\,\frac{4}{3}} \right)$.

Gọi $P\left( {x;\,y} \right)$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó $AP$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Suy ra $\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AP}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right)\\\frac{4}{3} - 3 = \frac{2}{3}\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2}} \right)$.

Vì $P$ là trung điểm của $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_P} - {x_B}\\{y_C} = 2{y_P} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 7b - 9\\{y_C} = 1 - b\end{array} \right.$ $\Rightarrow C\left( {7b - 9;\,1 - b} \right)$.

Vì $C \in CN$ nên $7b - 9 - 2.\left( {1 - b} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1$.

Khi đó $B\left( {3;\,1} \right)$, $C\left( { - 2;\,0} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $BC$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ là $x - 5y + 2 = 0$.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y = \frac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2}  - 1}}$xác định trên $\left( {0;1} \right)$.

Lời giải

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - m + 2 \ge 0\\\sqrt {x - m + 2}  - 1 \ne 0\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 2\\\sqrt {x - m + 2}  \ne 1\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 2\\x \ne m - 1\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 \ge 1\\m - 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = 2\end{array} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ biết $H\left( {3;2} \right)$, $G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng $BC$ có phương trình $x + 2y - 2 = 0$. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$?

Lời giải

*) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow \overrightarrow {HI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right.$

*) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IM \bot BC$ $\Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0$.

$M = IM \cap BC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {0;1} \right)$.

Lại có: $\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MG}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right.$.

Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = IA = 5$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$.