$A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{4^{5 + \sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^{10 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^5}}}{{{3^2}}} = \frac{{32}}{9}$

Đáp án B.

Do 0<a<1 nên đồ thị hàm số có chiều đi xuống từ trái qua phải

Đồ thị luôn đi qua điểm (1;0)

Đáp án B.

a)

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,(Do\,\,SA \bot (ABC))\\BC \bot SH\\SA,SH \subset (SAH)\\SA \cap SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAH)$

b) $\left\{ \begin{array}{l}CK \bot SA\,\,\\CK \bot AB\\SA,AB \subset (SAB)\\SA \cap AB\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow CK \bot SB$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}SB \bot CK - cmt\,\,\\SB \bot CH\\CH,CK \subset (CKH)\\CH \cap CK\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot (CKH) \Rightarrow SB \bot HK$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SB - cmt\,\,\\HK \bot BC\,(Do\,BC \bot (SAB))\\SB,BC \subset (SBC)\\SB \cap BC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot (SBC)$

c)Do $CK \bot (SAB)$nên BC không thể vuông góc với (SAB)

d) Gọi M là giao điểm của SH và BC. Do $BC \bot (SAH)$ nên $BC \bot AM$ hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK. Hay SH, AK, BC đồng quy

Đáp án C.

Dựng $AH \bot BC \Rightarrow d(A,BC) = AH$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (SBC)\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot SH\end{array}$

Xét tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5}\\ \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Ta có: $SA \bot (SBC) \Rightarrow SA \bot SH \Rightarrow \Delta SAH$vuông tại S

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SAH$ vuông tại S ta có:

$A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}$

Đáp án B.

Gọi A là biến cố “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”; B là biến cố “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”.

Biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp” là biến cố hợp của A và B.

Khi đó P(A) = $P(A) = \frac{{31}}{{50}};P(B) = \frac{{21}}{{50}};P(AB) = \frac{5}{{50}} = \frac{1}{{10}}$ 

Ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = $\frac{{31}}{{50}} + \frac{{21}}{{50}} - \frac{1}{{10}} = \frac{{47}}{{50}}$

Vậy xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là $\frac{{47}}{{50}}$

Đáp án A.

$y' = \left( { - {x^3} + 3x - 2} \right)' =  - 3{x^2} + 3$

Giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung là $M(0; - 2)$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M(0; - 2)$ là: $y = y'(0)(x - 0) + ( - 2) = 3x - 2$

Đáp án C.

$y' = \left( {{{\sin }^2}x} \right)' = 2\sin x.c{\rm{os}}x = \sin 2x$

Đáp án B.

$\begin{array}{l}y' = \left( {\sqrt {2 + 2{x^2}} } \right)' = \frac{{\left( {2 + 2{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{4x}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\\ \Rightarrow a = 0,b = 2\\ \Rightarrow S = a - 2b =  - 4\end{array}$

Đáp án A.

$\begin{array}{l}y' = \left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x - 1}}} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right)'(x - 1) - ({x^2} + x)(x - 1)'}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{(2x + 1)(x - 1) - ({x^2} + x)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\\ \Rightarrow a = 1;b =  - 2,c =  - 1\\ \Rightarrow S = a + b + c =  - 2\end{array}$

Đáp án B.

$s'\left( t \right) = \left( {{t^2} + 1} \right)' = 2t$

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t = 3s$bằng $v\left( 3 \right) = 2.3 = 6(m/s)$

Đáp án B.

Gọi A là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

B là biến cố “người thứ hai bắn trúng”

AB là biến cố “cả hai người đều bắn trúng”

Suy ra $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7$

Ta có: $P(AB) = 0,6.0,7 = 0,42$

Đáp án C.

$y' = \left( {{x^5}} \right)' = 5{x^4}$

Đáp án D.

a) Đạo hàm của hàm số $s(t)$tại thời điểm ${t_0}$

Ta có:

 $\begin{array}{l}f'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f(t) - f({t_0})}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{{t^2} + 4t + 6 - ({t_0}^2 + 4{t_0} + 6)}}{{t - {t_0}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{(t - {t_0})(t + {t_0} + 4)}}{{t - {t_0}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {t + {t_0} + 4} \right) = 2{t_0} + 4\end{array}$

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: $v(t) = s' = s'(t) = \left( { - {t^3} + 9{t^2} + t + 10} \right)' = - 3{t^2} + 18t + 1$

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: $v(5) =  - {3.5^2} + 18.5 + 1 = 16$

c) Phương trình gia tốc của chất điểm: $a(t) = v'(t) = \left( { - 3{t^2} + 18t + 1} \right)' = - 6t + 18$

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: $a(5) =  - 6.5 + 18 =  - 12(m/{s^2})$

d) Phương trình vận tốc của chất điểm là: $v(t) = s' = s'(t) = \left( { - {t^3} + 9{t^2} + t + 10} \right)' = - 3{t^2} + 18t + 1$

Ta có: $v(t) =  - 3{t^2} + 18t + 1 =  - 3{(t - 3)^2} + 24 \le 24$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 24 khi $t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3$(s)

$y' = f'(x) = \left( {\frac{{x + 1}}{{3x}}} \right)' = \frac{{ - 1}}{{3{x^2}}}$

a) Vì tam giác ABC cân tại A, AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $\bot$

Vì tam giác BCD cân tại D, DI là trung tuyến nên DI đồng thời là đường cao hay DI $\bot$ BC.

Có AI $\bot$BC và DI $\bot$ BC nên BC $\bot$ (AID).

b) Do AH là đường cao của tam giác AID nên AH $\bot$

Vì BC $\bot$ (AID) nên BC $\bot$ AH mà AH$\bot$DI nên AH $\bot$ (BCD).

c) Vì BC $\bot$(AID) nên BC $\bot$IJ, mà IJ là đường cao của tam giác AID nên IJ $\bot$ Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

d) Tam giác BCD cân nên H không là trọng tâm tam giác BCD

Xác suất để học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu là $100\%  - 93\%  = 7\%  = 0,07$

Xác suất để học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu là $100\%  - 87\%  = 13\%  = 0,13$

Gọi A là biến cố: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”

B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”

Khi đó ta có: $P(A) = 0,93;P(B) = 0,87;P(\overline A ) = 0,07;P(\overline B ) = 0,13$

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

$P(AB) = P(A).P(B) = 0,93.0,87 = 0,8091$

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là

$P(\overline {AB} ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,07.0,13 = 0,0091$

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,93.0,13 + 0,07.0,87 = 0,1818$

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,93 + 0,87 - 0,8091 = 0,9909$

$I = \mathop {lim}\limits_{x \to  - 3} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + 5x + 6}} = \mathop {lim}\limits_{x \to  - 3} \frac{{(x + 3)(x - 1)}}{{(x + 3)(x + 2)}}$

$= \mathop {lim}\limits_{x \to  - 3} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = 4$

$\begin{array}{l}y' = 20{x^3} - 9{x^2} + 6\\y'(0) = 6\end{array}$

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD.$ Suy ra $SO \bot (ABCD)$ hay $SO \bot BD$

Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $a,$ ta có $AD = AB = a.$

Suy ra $BD = a\sqrt 2$(đường chéo hình vuông)$\Rightarrow OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác vuông $SDO$vuông tại $O,$ áp dụng định lý Pitago ta có: $S{D^2} = S{O^2} + O{D^2} \Rightarrow S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vậy $d(S,(ABCD)) = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

$\left( {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}$

Tam giác $SAC$ có $SA \bot AC,SA = AC = a\sqrt 2$ Suy ra $\widehat {SCA} = {45^0}.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {1; - 3} \right)$ nên $- 3 = a + b + c$ $\left( 1 \right)$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left( {2;3} \right)$ nên $16a + 4b + c = 3$ $\left( 2 \right)$

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng $- 1$ có hệ số góc bằng 2 nên $f'\left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow  - 4a - 2b =  - 2 \Leftrightarrow 2a + b = 1$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c =  - 3\\16a + 4b + c = 3\\2a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c =  - 1\end{array} \right.$

Vậy $S = 3$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}$

Gọi $M\left( {a;\frac{{a - 2}}{{a + 3}}} \right) \in \left( C \right)$.

$y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$: $y = \frac{5}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{a - 2}}{{a + 3}}{\rm{  }}\left( \Delta  \right)$

$A = Ox \cap \Delta  \Rightarrow A\left( {\frac{{ - {a^2} + 4a + 6}}{5};0} \right)$

$B = Oy \cap \Delta  \Rightarrow B\left( {0;\frac{{{a^2} - 4a - 6}}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}} \right)$

$\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\frac{{ - {a^2} + 4a + 6}}{5}} \right|.\left| {\frac{{{a^2} - 4a - 6}}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}} \right| = \frac{{18}}{5}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - 4a - 6} \right)^2} = 36{\left( {a + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} - 10a - 24 = 0\\{a^2} + 2a + 12 = 0:vn\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M\left( {12;\frac{2}{3}} \right)$ hoặc $M\left( { - 2; - 4} \right).$