1. Phương trình tích có dạng $\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0\left( {a \ne 0,c \ne 0} \right)$

Cách giải phương trình tích

Ví dụ 1: Giải phương trình $\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$

Lời giải:

Để giải phương trình  $\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$, ta giải hai phương trình sau:

*) $2x + 1 = 0$

$2x =  - 1$

$x =  - \frac{1}{2}$.

*) $3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x =  - \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{3}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình ${x^2} - x =  - 2x + 2$.

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{l}{x^2} - x =  - 2x + 2\\{x^2} - x + 2x - 2 = 0\\x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0.\end{array}$

Ta giải hai phương trình sau:

*) $x + 2 = 0$

$x =  - 2$.

*) $x - 1 = 0$

$x = 1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x =  - 2$ và $x = 1$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{{5x + 2}}{{x - 1}} = 0$ có điều kiện xác định là $x - 1 \ne 0$ hay $x \ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{{x + 1}} = 1 + \frac{1}{{x - 2}}$ có điều kiện xác định là $x + 1 \ne 0$ và $x - 2 \ne 0$ hay $x \ne  - 1$ và $x \ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x \ne  - 1$ và $x \ne 2$.

$\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$\frac{{2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3$.

$\begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\\2x - 4 + x + 1 = 3\\3x - 3 = 3\\3x = 6\\x = 2\end{array}$

Ta thấy $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$ vô nghiệm.