1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Cặp vecto chỉ phương

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Tìm một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (ABCD).

b) Tìm một cặp vecto pháp

tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Giải:

a) Vì $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$ không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AD}$ là một cặp vecto pháp tuyến của (ABCD).

b) Vì $AA'$$\bot$(ABCD) nên $\overrightarrow {AA'}$ là một vecto pháp tuyến của (ABCD).

2. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Vecto $\overrightarrow n  = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})$ còn được gọi là tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})$, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$.

Biểu thức ${a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}$ thường được kí hiệu là $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|$.

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0$.

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow a  = (1;2;3)$, $\overrightarrow b  = (4;1;5)$ làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ là

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)$.

Do đó, mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n  = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)$ làm một vecto pháp tuyến.

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow n  = (A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó $N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): $3x - 5y + 7z = 0$ và (Q): $x + y - 2 = 0$.

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = (3; - 5;7)$.

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = (1;1;0)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 $\ne 0$.

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1;2;1)$.

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1;2;1)$ nên phương trình của (P) là $1\left( {x--1} \right) + 2\left( {y--2} \right) + 1\left( {z--3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow a  = (1;2;1)$, $\overrightarrow b  = (2;1;3)$.

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow a  = (1;2;1)$, $\overrightarrow b  = (2;1;3)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)$.

Phương trình của (P) là $5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow {AB}  = (0;1;1)$, $\overrightarrow {AC}  = (3;0; - 1)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)$.

Phương trình của (P) là $- 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0$.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Ví dụ: Mặt phẳng (P): $4x + 3y + z + 5 = 0$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) (Q): $8x + 6y + 2z + 9 = 0$;

b) (R): $8x + 6y + 2z + 10 = 0$;

c) (S): $4x + 2y + z + 5 = 0$.

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) có các vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = (4;3;1)$, $\overrightarrow {{n_2}}  = (8;6;2)$, $\overrightarrow {{n_3}}  = (8;6;2)$, $\overrightarrow {{n_4}}  = (4;2;1)$.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_2}}  = 2\overrightarrow {{n_1}}$, $9 \ne 2.5$. Vậy (P)//(Q).

b) Ta có $\overrightarrow {{n_3}}  = 2\overrightarrow {{n_1}}$, $10 \ne 2.5$. Vậy (P)$\equiv$(R).

c) Ta có $\frac{4}{3} \ne \frac{3}{2}$ suy ra $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_4}}$ không cùng phương. Vậy (P) cắt (S).

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): $x - 4y + 3z + 2 = 0$, (Q): $4x + y + 88 = 0$, (R): $x + y + z + 9 = 0$. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 4;3)$, $\overrightarrow {{n_2}}  = (4;1;0)$, $\overrightarrow {{n_3}}  = (1;1;1)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0$. Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0$. Vậy (P) ⊥ (R).

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): $x + y + z + 12 = 0$.

Giải: $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3$.