“Có một số nguyên” tức là tồn tại số nguyên: $\exists x \in \mathbb{Z}$.

“Số (nguyên) bằng bình phương của chính nó”: $x = {x^2}$.

Vậy mệnh đề đúng là “$\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}$”.

$x \in \mathbb{R}$ nên mọi số thực thỏa mãn -3 < x < 1 đều thuộc A. Tập {-3;1} chỉ có 2 giá trị nên A sai.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng. Trong trường hợp này dùng kí hiệu nửa khoảng ở cả hai đầu mút.

Vậy A = (-3;1).

Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Thay tọa độ các điểm vào hệ, chỉ có điểm (0;-2) thỏa mãn hệ.

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {120^o} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = {b^2} + {c^2} + bc$.

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Khi đó $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$.

Vì $\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AB}$ nên hai vecto trên cùng phương và $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB}$ cùng chiều.

Khi đó A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B, C.

Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow a$.

Để hàm số trên xác định thì $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ge  - 3\end{array} \right.$

Vậy $D = [ - 2; + \infty )$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\Rightarrow  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha$

$\Rightarrow \cos \alpha  =  - 1$

$\Rightarrow \alpha  = {180^o}$.

Xét chữ số thập phân thứ ba là 6 > 5 nên số sau khi quy tròn là 12,46.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 38. Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 60.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 60 – 38 = 22.

a) Đúng. Vì đồ thị hướng bề lõm lên trên nên a > 0.

b) Sai. Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y = -1 < 0 nên c = -1 < 0.

c) Sai. Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ (2;1) và (1;-2) nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}a{.2^2} + b.2 + ( - 1) = 1\\a{.1^2} + b.1 + ( - 1) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 1\\a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.$

Vậy $a - 2b + c = \frac{3}{2} - 2\left( { - \frac{5}{2}} \right) + ( - 1) = \frac{{11}}{2}$.

d) Sai. $a - {b^2} + {c^3} = \frac{3}{2} - {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {( - 1)^3} =  - \frac{{23}}{4}$.

a) Sai. Có ${0^o} < \alpha  < {90^o}$ suy ra $\cos \alpha  > 0$.

b) Sai. ${\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

c) Sai. Vì $\cos \alpha  > 0$ nên $\cos \alpha  = \sqrt {\frac{8}{9}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

d) Đúng. Ta có: $P = \frac{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}$.

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD}$.

b) Sai. $\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

c) Sai. $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {BG}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GD}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BG}  =  - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} } \right)$

$=  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) =  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}$.

a) Đúng. Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh là

$\overline x  = \frac{{2.1 + 3.1 + 4.2 + 5.1 + 6.2 + 7.1 + 8.1 + 15.1}}{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1}} = 6$ (giờ).

b) Sai. Mốt của mẫu số liệu trên là 4 và 6 vì có tần số lớn nhất (bằng 2).

c) Sai. Trung vị là ${Q_2} = \frac{{5 + 6}}{2} = 10,5$.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 4$, tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 7$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7 - 4 = 3$.

Giá trị ngoại lệ sẽ nhỏ hơn ${Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 4 - 1,5.3 =  - 0,5$ và lớn hơn ${Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 7 + 1,5.3 = 11,5$.

Vậy 15 là giá trị ngoại lệ.

d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu:

${s^2} = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {15 - 6} \right)}^2}} \right] = 12$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $\sqrt {{s^2}}  = \sqrt {12}$.

$B \ne \emptyset$ khi $2m < 3m + 1 \Rightarrow m >  - 1$.

Ta có $A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 5\\3m + 1 < 0\end{array} \right.\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{5}{2}\\ - 1 < m <  - \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Suy ra $A \cap B \ne \emptyset  \Leftrightarrow m \in \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right)$.

Các giá trị nguyên m thỏa mãn là 0; 1; 2.

Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi x và y lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ mộc sản xuất trong một tuần $(x,y \ge 0)$.

Để làm x cái bàn cần 6x (giờ), làm y cái ghế cần 3y (giờ). Người thợ mộc chỉ có thể làm 40 giờ/tuần nên $6x + 3y \le 40$.

Số ghế gấp ít nhất ba lần số bàn nên $y \ge 3x$.

Một cái bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần nên $x + \frac{4}{y} \le 4$.

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\x + \frac{y}{4} \le 4\\x,y \ge 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\4x + y \le 16\\x,y \ge 0\end{array} \right.$ (*).

Lợi nhuận thu được là f(x;y) = 150x + 50y (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với $A\left( {\frac{{16}}{7};\frac{{48}}{7}} \right)$, $B\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{2}} \right)$, $C\left( {0;\frac{{40}}{3}} \right)$.

Thay tọa độ các điểm trên vào f(x;y) thấy $f\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{3}} \right) = \frac{{2200}}{3}$ là giá trị lớn nhất.

Như vậy người thợ này cần sản xuất 4 cái bàn và 32 cái ghế trong vòng 3 tuần để thu về số tiên lãi lớn nhất.

Ta có a + b + c = 4 + 32 + 3 = 39.

+) $\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = {180^o} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^o} - \widehat {CAD} = {180^o} - {63^o} = {117^o}$.

+) Xét tam giác ABD có $\widehat D = {180^o} - \widehat A - \widehat B = {180^o} - {117^o} - {48^o} = {15^o}$.

Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABD: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BDA}}} = \frac{{AD}}{{\sin \widehat {ABD}}}$.

Suy ra $AD = \frac{{AB\sin \widehat {ABD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}$.

Xét tam giác ACD vuông tại C: $\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}}$.

Suy ra $CD = AD\sin \widehat {CAD} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}\sin {63^o} \approx 61,4$ (m).

Dựng hình bình hành AMBD. Vì $\widehat {AMB} = {90^o}$ nên AMBD là hình vuông.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}$.

Vì vật đứng yên nên $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$.

Từ đó ta suy ra $\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow {MD}  =  - \overrightarrow {MC}$. Khi đó $\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MC} } \right|$ tức MD = MC.

Vì MD là đường chéo của hình vuông cạnh 100 nên $MD = 100\sqrt 2$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = 100\sqrt 2  \approx 141$ N.

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi (P): $y = a{x^2} + bx + c$ $(a \ne 0)$.

Ta có (P) đi qua các điểm I(0;4), E(2;3), F(-2;3) nên $\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 3\\4a - 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra (P): $y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4$.

Hai điểm A, B là giao điểm của (P) với trục Ox nên hoành độ thỏa mãn $- \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4$.

Do đó A(-4;0) và B(4;0). Suy ra AB = 8.

Số học sinh trung bình các lớp khối 10 là $\overline x  = \frac{{43 + 45 + 46 + 41 + 40}}{5} = 43$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

${s^2} = \frac{1}{5}\left[ {{{\left( {43 - 43} \right)}^2} + {{\left( {45 - 43} \right)}^2} + {{\left( {46 - 43} \right)}^2} + {{\left( {41 - 43} \right)}^2} + {{\left( {40 - 43} \right)}^2}} \right] = 5,2$.