A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng:

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$.

Khi đó, tọa độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.$ (*)

Dựa vào các vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$ hoặc các vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}$, $\overrightarrow {{n_2}}$ của ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ ta có:

- ${\Delta _1}$ // ${\Delta _2}$ hoặc ${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{n_1}}$, $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương.

+ Nếu ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ có điểm chung thì ${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2}$.

+ Nếu tồn tại điểm thuộc ${\Delta _1}$ nhưng không thuộc ${\Delta _2}$ thì ${\Delta _1}$ // ${\Delta _2}$.

- ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{n_1}}$, $\overrightarrow {{n_2}}$ không cùng phương.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Công thức:

Chú ý:

+ ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$.

+ Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$ thì góc $\varphi$ cũng được xác định qua công thức $\cos \varphi  = \cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Chú ý: Nếu $M \in \Delta$ thì $d(M,\Delta ) = 0$.

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ${\Delta _1}:2x - y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0$.

b) ${\Delta _3}:x - y - 1 = 0$ và ${\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$.

Giải:

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2)$, đường thẳng ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 2; - 1)$.

Do $\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{{ - 1}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương, suy ra ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _3}$, ${\Delta _4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_3}}  = (1;1)$ và $\overrightarrow {{u_4}}  = (2;2)$. Suy ra $\overrightarrow {{u_4}}  = 2\overrightarrow {{u_3}}$. Chọn t = 0, ta có điểm $M(1;3) \in {\Delta _4}$. Do $1 - 3 - 1 \ne 0$ nên $M(1;3) \notin {\Delta _3}$.

Vậy ${\Delta _3}$ // ${\Delta _4}$.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

${\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0$.

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x - 4y + 2 = 0\end{array} \right.$.

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 - {t_2}\end{array} \right.$.

b) ${\Delta _1}:3x + y - 10 = 0$ và ${\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0$.

Giải:

a) ${\Delta _1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$. ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$.

Do đó, ta có: $\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Vậy $({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}$.

b) ${\Delta _1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right)$. ${\Delta _2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1} \right)$.

Do đó, ta có: $\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.( - 2) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}$.

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $\Delta :2x - 3y + 5 = 0$.

b) M(1;-3) và $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.$.

Giải:

a) Ta có: $d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}$.

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4;3)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $4(x + 2) + 3(y - 2) = 0$. Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $4x + 3y + 2 = 0$.

Vậy $d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}$.