A. Lý thuyết

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng ${\log _a}x = b$ $(a > 0,a \ne 1)$.

Lưu ý: Nếu $b = {\log _a}\alpha$ $(\alpha  > 0)$ thì phương trình ${\log _a}x = b$ trở thành ${\log _a}x = {\log _a}\alpha$ với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \alpha$. Một cách tổng quát, với a > 0 và $a \ne 1$ , ta có:

${\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.$.

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ${\log _a}x > b$ hoặc ${\log _a}x \ge b$, ${\log _a}x < b$, ${\log _a}x \le b$ $(a > 0,a \ne 1)$.

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: ${\log _a}x \ge b$, ${\log _a}x < b$, ${\log _a}x \le b$.

Nếu $b = {\log _a}\alpha$ $(\alpha  > 0)$ thì bất phương trình ${\log _a}x > b$ trở thành ${\log _a}x > {\log _a}\alpha$. Khi đó:

- Nếu a > 1 thì ${\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow x > \alpha$.

- Nếu 0 < a < 1 thì ${\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow x < \alpha$.

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì ${\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0$.

- Khi 0 < a < 1 thì ${\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B$.

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) ${\log _2}(x + 1) = 3$.

b) $\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1)$.

Giải:

a) Điều kiện của phương trình là $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1$.

Ta có ${\log _2}(x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.

b) Điều kiện của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$.

Ta có $\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1) \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 1$.

$x + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) ${\log _2}x > 7$.

b) ${\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10)$.

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên ${\log _2}x > 7 \Leftrightarrow x > {2^7} \Leftrightarrow x > 128$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(128; + \infty )$.

b) Điều kiện của bất phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}6x + 12 > 0\\{x^2} + 7x + 10 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 5\\x >  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x >  - 2$.

Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên ${\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10) \Leftrightarrow 6x + 12 > {x^2} + 7x + 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1$.

Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $( - 2;1)$.