Gọi p₁, phương pháp, …, p_n, … là độ dài của H₁, H₂, …, H_n, … . Chứng minh rằng (p_n) là một cấp số nhân. Tìm limp_n.

Giải chi tiết:

Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ.

Độ dài mỗi cạnh của H_nlà  ${a \over {{3^n}}}$

Do đó độ dài của H­­_nlà  ${p_n} = {3.4^n}.{a \over {{3^n}}} = 3a{\left( {{4 \over 3}} \right)^n}$

Vậy dãy số (p_n) là một cấp số nhân và  $\lim {p_n} = + \infty$

Gọi S_n là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc H_n. Tính S_n và tìm giới hạn của dãy số (S_n).

Hướng dẫn : Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ. Tìm độ dài mỗi cạnh của H_n, từ đó tính p_n. Để tính S_n cần chú ý rằng muốn có H_n+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của H_n.

Giải chi tiết:

 Diện tích tam giác ABC cạnh a là  $S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$

$\eqalign{ & {S_1} - S = 3.\left( {{S \over 9}} \right) = {S \over 3}, \cr  & {S_2} - {S_1} = 4.3.\left( {{S \over {{9^2}}}} \right) = {S \over 3}.\left( {{4 \over 9}} \right) \cr  & {S_3} - {S_2} = {4^2}.3.\left( {{S \over {{9^3}}}} \right) = {S \over 3}.{\left( {{4 \over 9}} \right)^2} \cr}$

Bằng phương pháp qui nạp, ta được :

${S_n} = {S_{n - 1}} = {4^{n - 1}}.3.\left( {{S \over {{9^n}}}} \right) = {S \over 3}.{\left( {{4 \over 9}} \right)^{n - 1}}$

Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được :

${S_n} - S = {S \over 3} + {S \over 3}.\left( {{4 \over 9}} \right) + {S \over 3}.{\left( {{4 \over 9}} \right)^2} + ... + {S \over 3}.{\left( {{4 \over 9}} \right)^{n - 1}}\,\,\left( 1 \right)$

Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là ${S \over 3}$ và công bội là ${4 \over 9}$. Tổng của cấp số nhân này là :

$\left( {{S \over 3}} \right).{1 \over {1 - {4 \over 9}}} = {{3S} \over 5}$

Do đó  $\lim \left( {{S_n} - S} \right) = {{3S} \over 5}$

Suy ra  $\lim {S_n} = {{3S} \over 5} + S = {{8S} \over 5} = {8 \over 5}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{2\sqrt 3 } \over 5}{a^2}$

baitap365.com