I. Các kiến thức cần nhớ

Chú ý:

Khi nói các số $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,\,b,\,c$ tức là ta có $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}$. Ta cũng viết $x:y:z = a:b:c$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}$

Từ đó $x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b$ .

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$ ta làm như sau

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$\Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}$

Từ đó $x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;$$y = \dfrac{p}{{a - b}}.b$ .

Ví dụ: Tìm hai số $x;y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y =  - 32$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} =  - 4$

Do đó $\frac{x}{3} =  - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12$  và $\frac{y}{5} =  - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.$

Vậy $x =  - 12;y =  - 20.$

Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$, ta làm như sau:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}$

Từ đó $x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b$; $z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c$.

Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số $x;\,y$ biết $x.y = P$ và $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$

Cách 1: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Đặt $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k$ ta có $x = ka;\,y = kb$

Nên $x.y = ka.kb = {k^2}ab = P$$\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}$

Từ đó tìm được $k$ sau đó tìm được $x,y$.

Cách 2: Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}$$\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}$ hay $\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b}$$\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}$  từ đó tìm được $x$ và $y.$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức

Phương pháp:

+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài

+ Lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.