Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D$ $\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $D$ $\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Dạng 1 : Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

Dạng 2 : Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Dạng 3 :  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)$.

+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)=3x+1$

Cách giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb R$ 

Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb R$

Ta có:  

$f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1}+1$

$f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2}+1$

Suy ra $f(x_1)-f(x_2)=3x_1+1-(3x_2+1)$$=3(x_1-x_2)<0$ (vì $x_{1}  < x_{2}$ nên $x_{1}  - x_{2}<0)$

Hay $f(x_1)<f(x_2)$ 

Vậy với $x_{1} < x_{2}$ ta được $f(x_1) < f(x_2)$ nên hàm số $y =f(x)= 3x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = ax\left( {a \ne 0} \right)$

Phương pháp:

+) Đồ thị hàm số dạng $y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $E\left( {1;a} \right)$.

+) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}$.