Đề bài

Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong ${y^2} + x = 0$, trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y= 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:

A. $V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^4}\,dx}$. 

B. $V = \pi \int\limits_0^1 {{y^2}\,dy}$.

C. $V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy}$.          

D. $V = \pi \int\limits_0^1 { - {y^4}\,dy}$.

Câu 2. Cho tích phân $I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx}$. Phát biểu nào sau đây sai?

A. $I = \sqrt 2 \cos x\left| \begin{array}{l}2004\pi \\0\end{array} \right.$.  

B. $I = 2004\int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - \cos 2x} } \,dx$.

C. $I = 4008\sqrt 2$.        

D. $I = 2004\sqrt 2 \int\limits_0^\pi  {\sin x\,dx}$.

Câu 3. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}$ trên $(0; + \infty )$.

A. $4\cos x + \ln x + C$. 

B. $4\cos x + \dfrac{1}{x} + C$.

C. $4\sin x - \dfrac{1}{x} + C$.   

D. $4\sin x + \dfrac{1}{x} + C$.

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. $\int\limits_a^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } }$.

B. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx - \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } }$.

C. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx + \int\limits_a^c {f(x)\,dx} } }$.

D.  $\int\limits_a^b {cf(x)\,dx =  - c\int\limits_b^a {f(x)\,dx} }$

Câu 5. Tính nguyên hàm $\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx}$ ta được kết quả là:

A. $- {\sin ^4}x + C$.                 

B. $\dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C$.

C. $- \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C$.                  

D. ${\sin ^4}x + C$.

Câu 6. Giả sử hình phẳng tạo bởi đường cong $y = {\sin ^2}x,\,\,y =  - {\cos ^2}x\,,\,x = \pi ,\,x = 2\pi$ có diện tích là S. Lựa chọn phương án đúng :

A. $S = \pi$.    

B. $S = 2\pi$.

C. $S = \dfrac{\pi }{2}$.               

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Gọi $\int {{{2009}^x}\,dx}  = F(x) + C$ . Khi đó F(x) là hàm số:

A. ${2009^x}\ln 2009$.          

B. $\dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}}$.

C. ${2009^x} + 1$.                     

D. ${2009^x}$.

Câu 8. Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\text{d}}x} ,$ nếu đặt 

$\left\{ \matrix{ u = f\left( x \right) \hfill \cr {\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr} \right.$ thì:

A. $I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .$

B. $I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .$

C. $I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .$

D. $I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Câu 9. Giả sử $\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K}$. Giá trị của K là:

A. 1                                 B. 3  

C. 80                               D. 9.

Câu 10. Nếu $\int\limits_a^d {f(x)\,dx = 5\,,\,\,\int\limits_b^d {f(x)\,dx = 2} \,}$ với a  < d < b thì $\int\limits_a^b {f(x)\,dx}$ bằng :

A. 3 .                               B. 2          

C. 10                               D. 0

Câu 11. Nếu $\int {f(x)\,dx = {e^x} + {{\sin }^2}x}  + C$ thì f(x) bằng

A. ${e^x} + 2\sin x$.     

B. ${e^x} + \sin 2x$.

C. ${e^x} + {\cos ^2}x$.                        

D. ${e^x} - 2\sin x$.

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. Nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thì $\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx + \int {g(x)\,dx} }$

B. Nếu các hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên R thì $\int {u(x)v'(x)\,dx + \int {v(x)u'(x)\,dx = u(x)v(x)} }$

C. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) – G(x) = C ( với C là hằng số )

D. $F(x) = {x^2}$ là một nguyên hàm của f(x) = 2x.

Câu 13. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.

A. $\int {2\sin x\,dx = {{\sin }^2}x}  + C$. 

B. $\int {2\sin x\,dx = 2\cos x}  + C$.

C. $\int {2\sin x\,dx =  - 2\cos x}  + C$.  

D. $\int {2\sin x\,dx = \sin 2x}  + C$.

Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $u = {x^2} - 2x + 3$, trục Ox và đường thẳng x = -1 , x =2 bằng :

A. $\dfrac{1}{3}$                           B. 17                

C. 7                            D. 9

Câu 15. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx}$.

A. $I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 2$.  

B. $I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1$.

C. $I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - 2$              

D. $I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}}$.

Câu 16. Biết rằng hàm số $f(x) = {\left( {6x + 1} \right)^2}$ có một nguyên hàm $F(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thỏa mãn điều kiện F(-1.) 20. Tính tổng a + b + c + d.

A. 46                               B. 44  

C. 36                               D. 54

Câu 17. Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\cos x\,dx}$ theo phương pháp tích pân từng phần , ta đặt:

A. $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = x\cos x\,dx\end{array} \right.$.   

B. $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {x^2}\,dx\end{array} \right.$. 

D. $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\dv = \,dx\end{array} \right.$

Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có nguyên hàm trên $( - \infty ; + \infty )$.

B. $3{x^2}$ là một nguyên hàm của ${x^3}$ trên $( - \infty ; + \infty )$.

C. Hàm số $y = |x|$ có nguyên hàm trên $( - \infty ; + \infty )$.

D. $\dfrac{1}{x} + C$ là họ nguyên hàm của lnx trên $(0; + \infty )$.

Câu 19. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: $f(x) = {2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}$ ?

A. $2\left( {{2^{\sqrt x }} - 1} \right) + C$.

B. ${2^{\sqrt x }} + C$.

C. ${2^{\sqrt x  + 1}}$.                    

D. $2\left( {{2^{\sqrt x }} + 1} \right) + C$.

Câu 20. Đổi biến u = lnx thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx}$ thành:

A. $I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,du}$

B. $I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}\,du}$.

C. $I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{ - u}}du}$.

D. $I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{2u}}du}$.

Câu 21. Tính tích phân $\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx}$ ta được:

A. $\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 6 - 4\sqrt 3$. 

B. $\dfrac{{{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{6} + 6 - 4\sqrt 3$.

C. $\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 3 - 2\sqrt 3$. 

D. 0.

Câu 22. Tính nguyên hàm $\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx$ ta được kết quả là :

A. $\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C$.  

B. $\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C$.

C. $2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C$. 

D. $2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C$.

Câu 23. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}$ ta thu được:

A. $\cot x - 2\tan x + C$.  

B. $- \cot x + 2\tan x + C$.

C. $\cot x + 2\tan x + C$.  

D. $- \cot x - 2\tan x + C$  

Câu 24. Hàm số $f(x) = x\sqrt {x + 1}$ có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?

A. $\dfrac{{146}}{{15}}$                            B. $\dfrac{{116}}{{15}}$  

C. $\dfrac{{886}}{{105}}$                            D. $\dfrac{{105}}{{886}}$.

Câu 25. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \dfrac{3}{2}$. Tìm F(x).

A. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{4}$.        

B. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}$.

C. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}$.   

D. $F(x) = {e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}$.