Đề bài

Câu 1. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {2 - x} ,\,y = x$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây :

A. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}\,dx} }$.  

B. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx}$.

C. $V = \pi \int\limits_0^1 {x\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} \,dx} }$.     

D. $V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} }$.

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ là

A. $\tan x + C$.         

B. $\dfrac{{ - 1}}{{\cos x}} + C$.

C. $\cot x + C$.           

D. $\dfrac{1}{{\cos x}} + C$.

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2},\,\,y = 2x$ là:

A. $\dfrac{4}{3}$                          B. $\dfrac{3}{2}$

C. $\dfrac{5}{3}$                           D. $\dfrac{{23}}{{15}}$.

Câu 4. Nếu f(1) = 12, f’(x) liên tục và $\int\limits_1^4 {f'(x)\,dx = 17}$ thì giá trị của f(4) bằng bao nhiêu ?

A. 29                         B. 5

C. 19                         D. 40 .

Câu 5. Cho f(x), g(x)  là các hàm liên tục trên [a ; b]. Lựa chọn phương án đúng.

A. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \ge \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$. 

B. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \le \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.

C. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 6. Giả sử f(x) là hàm liên tục và 0 < f(x) < 1, $\forall x \in [0;1]$. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường  y = f(x), y = 0, x = 0, x = 1. Hình này quay quanh trục tạo nên các vật thể có thể tích la V_x. Lựa chọn phương án đúng :

A. $0 < {V_x} < \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx}$.  

B. ${V_x} < \pi \int\limits_0^1 {{f^4}(x)\,dx}$.

C. ${V_x} > \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx}$   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}$ ta được:

A. $- \cot x - 2\tan x + C$.   

B. $\cot x - 2\tan x + C$.

C. $\cot x + 2\tan x + C$.                

D. $- \cot x + 2\tan x + C$.

Câu 8. Nếu $F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}$ thì (a , b ,c) bằng bao nhiêu ?

A. (1 ; 3 ; 2).                   

B. (2 ;  - 3 ; 1).

C. (1 ; - 1 ; 1).                      

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 4x$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và trục Ox được tính bằng công thức:

A. $\left| {\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} } \right|$.         

B. $\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx}$.

C. $\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx + \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} }$.

D. $\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx - \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} }$.

Câu 10. Cho $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1}$. Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. $I = \int\limits_0^3 {\sqrt u \,du}$.     

B. $I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27}$.

C. $\int\limits_1^2 {\sqrt u \,du}$.                 

D. $I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.$.

Câu 11. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\int\limits_a^b {[f(x) + g(x)]\,dx}  = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_a^b {g(x)\,dx} }$.

B. f(x) liên tục trên [a ; c] và a < b < c thì $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } }$.

C. Nếu $f(x) \ge 0$ trên đoạn [a ; b] thì $\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0}$.

D. $\int {\dfrac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left| {u(x)} \right|}  + C$.

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)$.

A. $F(x) = {e^x} - 3{e^{ - 3x}} + C$.

B. $F(x) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C$.

C. $F(x) = {e^x} - 3{e^{ - x}} + C$.    

D. $F(x) = {e^x} + C$.

Câu 13. Cho $\int\limits_1^4 {f(x)\,dx = 9}$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f(3x + 1)\,dx}$ .      

A. I= 27                      B. I= 3

C. I= 9                        D. I= 1.

Câu 14. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R và $k \ne 0$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây .

A. $\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx.\int {g(x)\,dx} }$

B. $\int {k.f(x)\,dx = k\int {f(x)\,dx} }$

C. $\int {f'(x)\,dx}  = f(x) + C$

D. $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]\,dx = \int {f(x)\,dx \pm \int {g(x)\,dx} } }$

Câu 15. Cho số thực a thỏa mãn $\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1$. Khi đó a có giá trị bằng:

A. 0                              B. -1

C. 1                              D. 2.

Câu 16. Tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}}$ có giá trị bằng:

A. $2\ln \dfrac{1}{3}$.                        B . $2\ln 3$.

C. $\dfrac{1}{2}\ln 3$.                         D. $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}$.

Câu 17. Tích phân $I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx}$ bằng :

A. $\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}$.                      B. $\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}$. 

C. $\dfrac{{{e^2} - 3}}{4}$.                     D. $\dfrac{{{e^2} - 3}}{2}$.

Câu 18. Tìm $I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx}$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

A. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{2}{3}}} - \tan x + C$.

B. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C$.

C. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{x^2}}} - \tan x + C$. 

D. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} + \tan x + C$.

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {x^2} - x + 3,\,\,y = 2x + 1$ là:

A. $\dfrac{3}{2}$                       B. $\dfrac{{ - 3}}{2}$

C. $\dfrac{1}{6}$                       D. $- \dfrac{1}{6}$.

Câu 20. Hàm số y = sinx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. y = sin + 1.            B. y = cosx.

C. y = cotx.                 D. y = - cosx.

Câu 21. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx}$ ta được:

A. $\dfrac{1}{3}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$. 

B. $\dfrac{1}{{15}}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$.

C. $\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^5}}}{5} + C$.   

D. $\dfrac{1}{5}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$.

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \left( {e + 1} \right)x\,,\,\,y = \left( {{e^x} + 1} \right)x$ là:

A. $\dfrac{{2 - e}}{e}$.                    B. e   

C. $\dfrac{{e - 2}}{e}$                    D. 2e.

Câu 23. Xét f(x) là một hàm số liên tục trê đoạn [a ; b], ( với a  < b) và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $\int\limits_a^b {f(3x + 5)\,dx = F(3x + 5)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.}$.

B. $\int\limits_a^b {f(x + 1)\,dx = F(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.}$.

C. $\int\limits_a^b {f(2x)\,dx = 2\left( {F(b) - F(a)} \right)}$. 

D. $\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Câu 24. Cho $f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x$. Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)  thỏa mãn F(0) = 1 và $F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}$.

A. $- \dfrac{3}{4}$.                        B. $\dfrac{3}{4}$  

C.  $- \dfrac{4}{3}$                        D. $\dfrac{4}{3}$.

Câu 25. Xét hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) + F(b)}$.

. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)}$.

C. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)}$.   

D. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = f(b) - f(a)}$.