Đề bài

Câu 1. Tìm $\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx}$.

A. $I = \ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C$.    

B. $I = \dfrac{1}{5}\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C$.

C. $I = \ln |x - 3| + \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C$.     

D. $I = 5\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C$.

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}$ quanh Ox là:

A. $\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}$    

B. $\dfrac{\pi }{3} - 3$                     

C. $\dfrac{{{\pi ^2}}}{3} - \pi \sqrt 3$  

D. $\pi \sqrt 3  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}$.

Câu 3. Tìm $I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx}$.

A. $I = \sin \left( {4x + 2} \right) + C$.        

B. $I =  - \sin \left( {4x + 3} \right) + C$.

C. $I = \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right) + C$. 

D. $I = 4\sin \left( {4x + 3} \right) + C$.

Câu 4. Đặt $F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt}$. Khi đó F’(x) là hàm số nào dưới đây ?

A . F’(x) = x.          

B. F’(x) = 1.

C. F’(x) = x – 1.                  

D. F’(x) = $\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}$.

Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ ?

A. $2\ln |x + 1| + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}$. 

B. $\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}$.

C. $\ln {\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}}$. 

D. $\dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}} + \ln {e^2}{\left( {x + 1} \right)^2}$.

Câu 6. Tính nguyên hàm $\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx}$ ta được:

A. $\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C$.  

B. $\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4}$.

C. $\dfrac{1}{4}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C$.           

D. $\dfrac{1}{5}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C$.

Câu 7. Cho $f(x) \ge g(x),\forall x \in [a;b]$. Hình phẳng S₁ giới hạn bởi đường  y = f(x), y = 0, x = a, x = b (a<b) đem quay quanh Ox có thể tích V₁. Hình phẳng S₂ giới hạn bởi đường  y = g(x), y = 0, x = a, x = b  đem quay quanh Ox có thể tích V₂. Lựa chọn phương án đúng.

A. Nếu V₁ = V₂ thì chắc chắn suy ra $f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]$.

B. S₁>S₂.

C. V₁ > V₂.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : $y = {x^2}\,,\,y = \dfrac{{{x^2}}}{8},\,\,y = \dfrac{{27}}{x}$ là:

A. 27ln2.             

B. 72ln27

C. 3ln72.                   

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Chọn phương án đúng.

A. $\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \cot x\left| {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} =  - 2} \right.$

B. $\int\limits_2^1 {dx}  = 1$.

C. $\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x} = ln|2e|}  - \ln | - e| = \ln 2$.

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 10. Tính tích phân $\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{\sin }^2}x\,dx;\,\,\dfrac{\pi }{2} > a > 0$

A. $- \dfrac{1}{4}\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a$.

B. $\dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)$.

C. $- \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)$.

D. 0.

Câu 11. Tích phân $\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \dfrac{{a\sqrt 2  - b}}{3}$  thì a + b bằng :

A. 2                         B. 4   

C. 3                         D. 5

Câu 12. Trong các hàm số f(x) dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức $\int {f(x).\sin x\,dx =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} }$?

A. $f(x) = {\pi ^x}\ln x$.   

B. $f(x0 =  - {\pi ^x}\ln x$.

C. $f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}$.      

D. $f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}$.

Câu 13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \dfrac{3}{2}$. Tìm F(x) ?

A. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{2}$.

B. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}$

C. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}$

D. $F(x) = 2{e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}$.

Câu 14. Biết F(x) là  nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1$. Tính F(3).

A. $F(3) = \dfrac{1}{2}$.        

B. $F(3) = \ln \dfrac{3}{2}$.

C. F(3) = ln2.             

D. F(3) = ln2 + 1.

Câu 15. Hàm số $F(x) = 3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1$ có một nguyên hàm là:

A. $f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x$.

B. $f(x) = {x^3} - \sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - x$.

C. $f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  + \dfrac{1}{x}$.

D. $f(x{x^3} - \dfrac{1}{2}\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x$.

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol $y = 2 - {x^2}$ và đường thẳng $y =  - x$ là:

A. $\dfrac{9}{2}$.                            B. 3 

C. $\dfrac{9}{4}$                              D. $\dfrac{7}{2}$.

Câu 17. Kết quả của tích phân $\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx}$ được viết dưới dạng a + bln2. Tính giá trị của a + b.

A. $\dfrac{3}{2}$                              B. $- \dfrac{3}{2}$

C. $\dfrac{5}{2}$                               D. $- \dfrac{5}{2}$          

Câu 18. Tìm $I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx}$.

A. $I =  - \dfrac{1}{5}\cos 5x + C$. 

B. $I = \dfrac{1}{5}\cos 5x + C$.

C. $I =  - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C$.  

D. $I = \dfrac{1}{8}\cos 4x + \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C$.

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x} - {e^{ - x}}$, trục hoành, đường thẳng x= - 1 và  đường thẳng x = 1.

A. $e + \dfrac{1}{e} - 2$

B. 0

C. $2\left( {e + \dfrac{1}{e} - 2} \right)$.      

D. $e + \dfrac{1}{e}$.

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)$ là:

A. ${x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C$.  

B. $\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^3}} \right) + C$.

C. ${x^2}\left( {2 + 6x} \right) + C$.         

D. ${x^2} + \dfrac{3}{4}{x^4}$.

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số $\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx}$ là:

A. $\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C$. 

B. $- \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C$.

C. $\dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C$.

D. $- \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C$.

Câu 22. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x  + 1}}}$ ta được :

A. $2\sqrt x  + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C$. 

B. $2 - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C$.

C. $2\sqrt x  - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C$.

D. $2 + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C$.

Câu 23. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng :

A. S= ln 2 – 1     

B. S = ln 4 – 1 .

C. S =ln 4 + 1.              

D. S = ln 2 + 1.

Câu 24. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn $\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = 6}$.

A. m = 1, m = - 6    

B. m = - 1 , m = - 6.

C. m = - 1, m = 6.          

D. m = 1, m = 6.

Câu 25. Biết $\int\limits_2^4 {\dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx = m\ln 5 + n\ln 3\,\left( {m,n \in R} \right)}$. Tính P = m – n .

A. $P =  - \dfrac{3}{2}$.               

B. $P = \dfrac{3}{2}$.

C. $P =  - \dfrac{5}{3}$.          

D. $P = \dfrac{5}{3}$.