Đề bài

Câu 1. Tìm $I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx}$.

A. $I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C$.

B. $I = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C$.

C. $I = {\sin ^2}x - \sin x + C$

D. $I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x - \sin x + C$.      

Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,(m/s)$. Quãng đường vật đi được sau 4s  xấp xỉ bằng :

A. 11m                           B. 12m 

C. 13m                            D. 14m.

Câu 3. Cho hai hàm số $f(x) = {x^2},\,\,g(x) = {x^3}$. Chọn mệnh đề đúng :

A. $\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \ge 0}$.     

B. $\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \le 0}$.

C. $\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \ge \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} }$. 

D. $\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \le 0}$.

Câu 4. Đặt $I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}$. Lựa chọn phương án đúng :

A. I = 1.                        

B. Cả ba phương án đều sai.

C. I = 2 – e                                   

D. I = 3 – 1 .

Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:

A. F(x) –C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

B. F(x) +2C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

C. CF(x) không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực $C \ne 1$.

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 6. Tính nguyên hàm $\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx}$ ta được:

A. $- {e^{3\cos x}} + C$.       

B. ${e^{3\cos x}} + C$.

C. $- \dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C$.                 

D. $\dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C$.

Câu 7. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx}$ ta được:

A. ${x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C$.   

B. ${x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C$.

C. $2{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C$

D.$2{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C$.

Câu 8. Chọn phương án đúng .

A. $\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R}$.

B. $\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln |Cx|}$, với C là hằng số .

C. $\int {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C}$, với mọi số thực a, b.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 9. Tính nguyên hàm $\int {{3^{{x^2}}}x\,dx}$ ta được:

A. $\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2}\ln 3 + C$.         

B. ${3^{{x^2}}} + C$.

C. $\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{2\ln 3}} + C$.            

D. $\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2} + C$.

Câu 10. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx}$.

A. $I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a$.

B. $I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a$.

C. $I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a$.

D. $I = \left( {1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a$

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = - 2 .

A. 17                           B. $\dfrac{{17}}{4}$

C. $\dfrac{{15}}{4}$                           D. 4.

Câu 12. Tìm hàm số F(x) biết rằng $F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm $M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)$.

A. $F(x) = \cot x + \sqrt 3$.    

B. $F(x) =  - \cot x + \sqrt 3$.

C. $F(x) = \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3$.     

D. $F(x) =  - \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3$.

Câu 13. Xét hàm số f(x) có $\int {f(x)\,dx = F(x) + C}$. Với a, b là các số thực và $a \ne 0$, khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. $\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C}$. 

B. $\int {f(ax + b) = aF(ax + b) + C}$.

C. $\int {f(ax + b) = F(ax + b) + C}$.

D. $\int {f(ax + b) = aF(x) + b + C}$.

Câu 14. Biến đổi $\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx}$thành $\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} }$. Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?

A. $f(t) = 2{t^2} + 2t$.            

B. $f(t) = 2{t^2} - 2t$.

C. $f(t) = {t^2} + t$.           

D. $f(t) = {t^2} - t$.

Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0 ; 6]. Nếu $\int\limits_1^5 {f(x)\,dx = 2\,,\,\,\int\limits_1^3 {f(x)\,dx = 7} }$ thì $\int\limits_3^5 {f(x)\,dx}$ có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. 5                             B. -5      

C. 9                              D. -9 .

Câu 16. Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx}$ , nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right.$ thì:

A. $I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx}$

B. $I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx}$.

C. $I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx}$

D. $I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx}$.

Câu 17. Biết $\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt = 3} }$. Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?

A. $\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 3}$.        

B. $\int\limits_2^4 {f(t)\,dt =  - 3}$.

C. $\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 6}$.       

D. $\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 0}$.

Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}$.

A. $\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C}$.

B. $\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{2^{2x}}{3^x}{7^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C}$.

C. $\int {f(x)\,dx = {{84}^x} + C}$. 

D. $\int {f(x)\,dx = {{84}^x}\ln 84 + C}$.

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x  - x$ và trục hoành.

A. 1                            B. $\dfrac{1}{6}$       

C. $\dfrac{5}{6}$                           D. $\dfrac{1}{3}$.

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$.

A. $\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C$.

B. $\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x + \dfrac{1}{x} + C$.

C. $\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{1}{x} + C$.              

D. $\dfrac{{{x^3}}}{2} + 2x - \dfrac{1}{x} + C$.

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}$  là:

A. $\cot x - \tan x$.         

B. $- \cot x + \tan x$.

C. $- \cot x - \tan x$.          

D. $\cot x + \tan x$.

Câu 22. Tính tích phân $\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx}$ ta được kết quả là :

A. $\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.   

B. $\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

C. $- \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.                 

D. $- \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình $y = {x^{\dfrac{1}{2}}}{e^{\dfrac{x}{2}}}$, trục Ox, x =1 , x = 2 quay một vòng quanh trục Ox bằng :

A. $\pi e$.                        B. $2\pi {e^2}$   

C. $4\pi$                         D. $16\pi$.

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1$ là $\dfrac{a}{b}$. Khi đó b – a bằng:

A. 4                              B. 2  

C. 3                              D. - 1

Câu 25. Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng .

A.   A. $I = 3e - 1 + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx}$.  

B. $I = 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx}$.

C. $I = 3e - 2\int\limits_0^1 {{e^{x\,}}\,dx}$.            

D. $I = 3e + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx}$.