Câu 1 (2,0 điểm): Hãy tính giá trị của:

a) $M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3$ ;

b) $N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }$ ;

c) $P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}$ ;

Câu 2 (2,0 điểm): Cho các biểu thức:

$A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}$  và  $B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}$  với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.$

a) Hãy tính giá trị của A khi $x = 16$.

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức $T = \dfrac{A}{B}$ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Câu 3 (2,0 điểm): Cho hàm số $y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1$ (với m là tham số và $m \ne 2$) có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right).$

a) Khi $m = 0$, hãy vẽ $\left( d \right)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

b) Tìm m để $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 2x - 5$ tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để $\left( d \right)$ cùng với các trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm A nằm ngoài $\left( O \right)$. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với $\left( O \right)$ (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với $\left( O \right)$ (E không trùng với D). Chứng minh $\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}$.

d) Tính số đo góc HEC.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho $x > 0,\,\,y > 0$ thỏa mãn $xy = 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}$ .