Câu 1 (2,5 điểm):Cho hai biểu thức$A = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 3}}$và $B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}$với $x > 0,\,\,x \ne 9$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 3$

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}$

3) So sánh $\frac{A}{B}$ và 4.

Câu 2 (2,5 điểm):Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right)x + m$ (với $m \ne  - 1$có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$

1) Tìm giá trị của m để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng $\left( d \right)$ với giá trị m tìm được ở câu 1

3) Tìm giá trị của m để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt đường thẳng $y = 3x + 2$ tại một điểm nằm trên trục hoành

Câu 3 (1,0 điểm):

Giải hệ phương trình:  $\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.$

Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh $OM.OS = {R^2}$

3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Câu 5 (0,5 điểm):Cho ba số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $x + y + z = 1$

Chứng minh rằng $P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1$