Câu 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức: $A\, = \,\dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}$ và $B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

1. Tính giá trị của A khi $x = 4.$

2. Rút gọn B.

3. So sánh A.B với 5.  

Câu 2 (2,0 điểm):

1. Thực hiện phép tính: $\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2 .$

2. Giải phương trình: $\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2.$

Câu 3 (1,5 điểm): Cho hàm số $y = 3x + 2$ có đồ thị là đường thẳng $\left( {{d_1}} \right).$

1. Điểm $A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$ có thuộc đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ không? Vì sao?

2. Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ có phương trình $y =  - 2x - m$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.

1. Chứng minh bốn điểm A,E,C,O cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh $BC.BD = 4{R^2}$ và OE song song với BD.

3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$

4. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (0,5 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010$ với $x > 2.$