Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

     A. $2$                               B. $1$                               C. $0$                               D. $3$

Câu 2: Đạo hàm của hàm số $y = {x^{\frac{2}{3}}}$ là

     A. $y' = \frac{2}{{3{x^3}}}$                                      B. $y' = \frac{2}{3}\sqrt[3]{x}$  C. $y' = \frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}$       D. $y' = \frac{2}{3}x$

Câu 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng nó xác định?

     A. $y = {x^{ - \frac{3}{4}}}$                                     B. $y = \sqrt[3]{x}$          C. $y = {x^4}$           D. $y = {x^{ - 4}}$

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1;1; - 3} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( { - 2;1;0} \right).$ Cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ bằng

     A. $\frac{3}{{\sqrt {55} }}$                                       B. $\frac{1}{{\sqrt {55} }}$      C. $\frac{{ - 3}}{{\sqrt {55} }}$                 D. $\frac{{ - 1}}{{\sqrt {55} }}$

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có thể tích là $V.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua trung điểm của $SA$ và song song với $\left( {ABC} \right)$ chia khối chóp trên thành hai phần. Thể tích khối chóp cụt tạo thành bằng

     A. $\frac{{2V}}{3}$         B. $\frac{{3V}}{4}$         C. $\frac{V}{4}$              D. $\frac{{7V}}{8}$

Câu 6: Số nghiệm của phương trình $\log \left( {32 - {x^4}} \right) = \log {x^4}$ là

     A. $4$                               B. $2$                               C. $3$                               D. $1$

Câu 7: Ta có $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}}$ bằng

     A. $\ln \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| + C.$                          B. $\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C.$

     C. $\frac{1}{3}\ln \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)} \right| + C.$          D. $\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2 - x}}} \right| + C.$

Câu 8: Hàm số $F\left( x \right) = {e^x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nào?

     A. $f\left( x \right) = {e^x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.$                                               B. $f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.$                                 

     C. $f\left( x \right) = {e^x} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.$                                               D. $f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.$

Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right).$

 

Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 2} \right).$ 

     B. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 1;0} \right).$             

     C. Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right).$      

     D. Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {0;2} \right).$

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $M$ là trung điểm của $SD.$ Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $d.$ Khoảng cách từ $M$ đến $\left( {SBC} \right)$ bằng

 

     A. $\frac{{2d}}{3}$          B. $\frac{d}{2}$               C. $d$                               D. $\frac{d}{4}$

Câu 11: Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của $f\left( x \right) = x - {x^{ - 2}},$ biết $F\left( 1 \right) = 0.$

     A. $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2}.$                       B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}.$             

     C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}.$                        D. $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2}.$

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{mx + 1}}{{x + m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

     A. $m <  - 1$ hoặc $m \ge 1.$                                        B. $- 2 \le m <  - 1$ hoặc $m > 1.$  

     C. $m \le  - 1$ hoặc $m > 1.$                                         D. $- 1 < m < 1.$

Câu 13: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a.$ Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

     A. ${a^3}\sqrt 3$            B. $2{a^3}$                      C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$  D. $\frac{2}{3}{a^3}$

Câu 14: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

 

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

     A. $\left( { - \infty ; - 2} \right)$                                B. $\left( {0; + \infty } \right)$ C. $\left( {0;2} \right)$                                   D. $\left( { - 2;0} \right)$

Câu 15: Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 

     A. $a > 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0.$                                            B. $a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0.$ 

     C. $a < 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0.$                                            D. $a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0.$

Câu 16: Trong hệ tục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 3}}{3}.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ và song song với trục $Oz$ có phương trình

     A. $x - 2y - 1 = 0.$           B. $2x - y - 2 = 0.$           C. $2x + y - 2 = 0.$                    D. $x + 2y - 1 = 0.$

Câu 17: Trong hệ tục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {2;1;2} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):x - 3z + 1 = 0$ có phương trình

     A. $x - 3z - 4 = 0.$           B. $2x + y + 2z - 3 = 0.$  C. $x - 3z + 1 = 0.$          D. $x - 3z + 4 = 0.$

Câu 18: Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ ($m$ là tham số thực) thỏa mãn $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = 3.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     A. $1 \le m < 3.$              B. $m < 1.$                       C. $3 < m \le 6.$              D. $m > 6.$

Câu 19: ${\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[5]{{{a^6}}}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)$ có giá trị bằng

1. A.    $\frac{5}{6}$              B. $- \frac{5}{6}$            C. $- \frac{6}{5}$            D. $\frac{6}{5}$

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình: ${2^{{x^2} - x - 4}} = \frac{1}{{16}}$ là

     A. $\left\{ {0;1} \right\}$ B. $\left\{ { - 2;2} \right\}$   C. $\left\{ {2;4} \right\}$      D. $\emptyset$

Câu 21: Trong hệ tục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 5 = 0.$ Tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ có tọa độ là

     A. $\left( {1; - 2;0} \right)$                                        B. $\left( { - 2;4;0} \right)$       C. $\left( { - 1;2;0} \right)$                                   D. $\left( {2;4;0} \right)$

Câu 22: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

     A. $\int {\sin x{\rm{d}}x}  = C - \cos x.$                       B. $\int {2{e^x}{\rm{d}}x}  = 2\left( {{e^x} + C} \right).$                                 

     C. $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  = \ln x + C.$              D. $\int {{x^3}{\rm{d}}x}  = \frac{{{x^4} + C}}{4}.$

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) > 0?$

     A. $3$                               B. $2$                               C. $1$                               D. $0$

Câu 24: Cho $a,\,\,b > 0$ thỏa mãn ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},\,\,{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}.$ Khi đó:

     A. $0 < a < 1,\,\,0 < b < 1$                                         B. $0 < a < 1,\,\,b > 1$     C. $a > 1,\,\,b > 1$    D. $a > 1,\,\,0 < b < 1$

Câu 25: Cho hàm số $y = {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right)$ có tập xác định là

     A. $\left[ {1; + \infty } \right)$                                  B. $\mathbb{R}$             C. $\left( { - \infty ;0} \right)$                                   D. $\left( {0;1} \right)$

Câu 26: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right).$          

     B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right).$                               

     C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$         

     D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Câu 27: Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích là $V.$ Thể tích khối tứ diện $A'BDC'$ bằng

     A. $\frac{V}{{12}}$         B. $\frac{V}{3}$              C. $\frac{V}{4}$                        D. $\frac{V}{6}$

Câu 28: Đồ thị $\left( C \right)$ có hình vẽ bên

 

Tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có $3$ điểm cực trị là

     A. $m \le  - 1$ hoặc $m \ge 3.$                                 B. $m \le  - 3$ hoặc $m \ge 1.$ C. $m =  - 1$ hoặc $m = 3.$                                D. $1 \le m \le 3.$

Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là

     A. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 0$                                    B. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 5$                               C. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 7$ D. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 3$

Câu 30: Hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

     A. $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$                         B. $\left( {0;2} \right)$     C. $\left( { - \infty ;2} \right)$                                   D. $\left( {0; + \infty } \right)$

Câu 31: Hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?

     A. $3$                               B. $1$                               C. $2$                               D. $0$

Câu 32: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} - m.\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {2m - 4} \right)x + 1$ đạt cực đại tại $x = 2.$

     A. $\forall m.$                 B. $m < 4$                        C. $m > 4$                       D. $m \ne 4.$

Câu 33: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $V.$ Điểm $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AA',\,\,A'C'.$ Mặt phẳng $\left( {BMN} \right)$ chia khối trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa điểm $A$ bằng

 

     A. $\frac{{3V}}{5}$         B. $\frac{{5V}}{8}$         C. $\frac{{23V}}{{36}}$  D. $\frac{{7V}}{{12}}$

Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

     A. $0$                               B. $1$                               C. $2$                               D. $3$

Câu 35: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ cho hai điểm $A\left( { - 3;0;1} \right),\,\,B\left( {1; - 1;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2z + 1 = 0.$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$ song song với $\left( P \right)$ và có khoảng cách đến $B$ nhỏ nhất. Khi đó, khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ bằng

     A. $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$                                          B. $\frac{{4\sqrt 5 }}{5}$          C. $\frac{{6\sqrt 5 }}{5}$                                     D. $3\sqrt 2$

Câu 36: Tập xác định của hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}$ là

     A. $\left( {0; + \infty } \right)$                                  B. $\left( { - \infty ;1} \right)$  C. $\left[ {1; + \infty } \right)$                                D. $\left( {1; + \infty } \right)$

Câu 37: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\left( C \right),$ đồ thị $\left( C \right)$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

     A. $0$                               B. $3$                               C. $2$                               D. $1$

Câu 38: Khối chóp có diện tích đáy bằng $3,$ chiều cao bằng $1$ thì thể tích khối chóp đó bằng

     A. $\frac{1}{3}$               B. $6$                               C. $3$                               D. $1$

Câu 39: Cho tứ diện $OABC$ có $OA = 1,\,\,OB = 2,\,\,OC = 3$ và $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc. Thể tích của khối tứ diện $OABC$ bằng

     A. $6$                               B. $1$                               C. $2$                               D. $3$

Câu 40: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ mặt cầu có tâm $I\left( {2;1;3} \right)$ và bán kính $R = 2,$ có phương trình

     A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$          B. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2$          

     C. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4$        D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$

Câu 41: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B,\,\,SA$ vuông góc với đáy. Biết $AB = a\sqrt 2 ,$ $BC = a,$ góc tạo bởi $SC$ và $\left( {SAB} \right)$ bằng $30^\circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

     A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$                                   B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$  C. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$  D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

Câu 42: Đường cong ở hình dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

     A. $y = 2{x^3} - {x^2} + 6x + 1$                                   B. $y =  - 2{x^3} - 6{x^2} - 6x + 1$  

     C. $y = 2{x^3} - 6{x^2} - 6x + 1.$                            D. $y = 2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 1$

Câu 43: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB,$ biết $A\left( {1;3;0} \right),\,\,B\left( { - 2;1; - 1} \right).$ Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$

     A. $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 3;2; - 1} \right)$                                 B. $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {3; - 2; - 1} \right)$                               C. $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( { - 3;4;1} \right)$                                   D. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2;1} \right)$

Câu 44: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau:

 

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

     A. $0$                               B. $- 1$                            C. $- \frac{5}{2}$            D. $1$

Câu 45: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5.$ Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có tâm $I$ và bán kính là

     A. $I\left( {1;2;0} \right),\,\,r = 2$                                 B. $I\left( {0;0; - 1} \right),\,\,r = \sqrt 3$  

     C. $I\left( {1;2;0} \right),\,\,r = 1$                                 D. $I\left( { - 1; - 2;0} \right),\,\,r = 1$

Câu 46: Phương trình: ${3.4^x} + \left( {3x - 10} \right){.2^x} + 3 - x = 0$ có $1$ nghiệm dạng $- {\log _a}b$ với $a,\,\,b$ nguyên dương. Tìm $a + 2b$

     A. $6$                               B. $10$                             C. $8$                               D. $4$

Câu 47: Trong hệ trục tọa độ $\left( {Oxyz} \right),$ vectơ chỉ phương của trục $Oy$ có tọa độ

     A. $\left( {0;0;1} \right)$                                           B. $\left( {1;0;0} \right)$ C. $\left( {0;1;0} \right)$     D. $\left( {1;0;1} \right)$

Câu 48: Cho ba số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ khác $1$ thỏa ${\log _a}b + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. $bc = 2016$                 B. $ab = 2016$                 C. $ac = 2016$                 D. $abc = 2016$

Câu 49: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và mặt bên $SAB$ là tam giác đều và vuông góc với đáy. Điểm $M$ là trung điểm của $CD.$ Khoảng cách giữa $2$ đường thẳng $SM$ và $BD$ bằng

 

     A. $\frac{{a\sqrt {30} }}{{20}}$                                B. $\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$  C. $\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}$                        D. $\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}$

Câu 50: Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 1$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$

     A. $m \ge 3$                     B. $m < 3$                        C. $m \le 3$                      D. $m > 3$

1. D	2. C	3. B	4. D	5. D	6. B	7. B	8. B	9. B	10. B
11. C	12. B	13. C	14. D	15. D	16. A	17. D	18. C	19. C	20. A
21. A	22. C	23. D	24. D	25. D	26. C	27. B	28. A	29. C	30. A
31. D	32. C	33. C	34. D	35. C	36. D	37. C	38. D	39. B	40. A
41. B	42. D	43. D	44. C	45. A	46. C	47. C	48. C	49. A	50. A

 

Câu 1 (VD) Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị $m$ để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

     A. $2$                               B. $1$                               C. $0$                               D. $3$

Phương pháp:

Đồ thị hàm số luôn có $1$ tiệm cận ngang, vì vậy để hàm số có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số cần có đúng $1$ tiệm cận đứng.

Cách giải:

Xét $m = 0,$ khi đó $y = \frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}}.$ Đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ và $1$ tiệm cận ngang $y =  - \frac{1}{2}$ nên $m = 0$ thỏa mãn.

Xét $m \ne 0,$ đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận đứng khi phương trình $m{x^2} - 2x + 3$ có nghiệm $x = 1$ hoặc có nghiệm kép.

-          Phương trình $m{x^2} - 2x + 3$ có nghiệm $x = 1$ khi $m =  - 1$ (thỏa mãn).

-          Phương trình $m{x^2} - 2x + 3$ có nghiệm kép khi $\Delta ' = 1 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính đạo hàm: ${\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}.$

Cách giải:

Ta có $y' = {\left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}}.$

Chọn C.

Câu 3 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa sự biến thiên của hàm số.

Cách giải:

Ta có ${\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0,\,\,\forall x \ne 0$ nên hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Chọn B.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

Cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$ là $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}$

Cách giải:

Cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ là $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.\left( { - 2} \right) + 1.1 + \left( { - 3} \right).0}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {55} }}$

Chọn D.

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích trong hình chóp.

Cách giải:

 

Gọi giao điểm của $\left( P \right)$ và các cạnh $SA,\,\,SB,\,\,SC$ lần lượt là: $M,\,\,N,\,\,P \Rightarrow M$ là trung điểm $SA.$

Vì $\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)$ nên $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.$

Ta có: $\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}V$.

Vậy thể tích khối chóp cụt tạo thành bằng $V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V.$

Chọn D.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Đặt điều kiện, bỏ logarit hai vế, đưa về phương trình đại số.

Cách giải:

Điều kiện: $0 < x < \sqrt[4]{{32}}.$

Ta có $\log \left( {32 - {x^4}} \right) = \log {x^4} \Leftrightarrow 32 - {x^4} = {x^4} \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x =  \pm 2$ (thỏa mãn)

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Chuyển về nguyên hàm dạng $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} .$

Cách giải:

Ta có $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}}  = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 1}}}  - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}}  = \ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right| + C.$

Chọn B.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Tính $F'\left( x \right)$

Cách giải:

Ta có $F'\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.$

Chọn B.

Câu 9 (VD)

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$

Cách giải:

Ta có $g'\left( x \right) = {\left[ {f\left( {{x^2} - 2} \right)} \right]^\prime } = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right).$

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = a\,\,\left( { - 2 < a < 0} \right)\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {a + 2} \\x =  \pm 2\end{array} \right..$

Chú ý: Nghiệm $x =  \pm \sqrt {a + 2}$ là nghiệm bội chẵn nên qua đó dấu đạo hàm không đổi.

Ta có bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$

 

Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right).$

Suy ra mệnh đề B sai.

Chọn B.

Câu 10 (VD)

Phương pháp:

- Khoảng cách từ $D$ đến $\left( {SBC} \right)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBC} \right)$.

- Sử dụng tỉ lệ khoảng cách.

Cách giải:

Vì $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên ${d_{D/\left( {SBC} \right)}} = {d_{A/\left( {SBC} \right)}} = d.$

Vì $M$ là trung điểm $SD$ nên ${d_{M/\left( {SBC} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{D/\left( {SBC} \right)}} = \frac{d}{2}.$

Chọn B.

Câu 11 (VD)

Phương pháp:

- Tính nguyên hàm của $f\left( x \right)$, sau đó thay $x = 1$ tìm $C.$

Cách giải:

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {x - {x^{ - 2}}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + C.$

Vì $F\left( 1 \right) = 0$ nên $C =  - \frac{3}{2}.$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}.$

Chọn C.

Câu 12 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi $y' > 0,\,\,\forall x > 2$

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi $y' > 0,\,\,\forall x > 2$

$\Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\m \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m <  - 1\end{array} \right..$

Chọn B.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Tính diện tích đáy, rồi tính thể tích lăng trụ.

Cách giải:

Diện tích đáy của hình lăng trụ là: ${S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Thể tích hình lăng trục là: $V = 2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$

Chọn C.

Câu 14 (NB)

Phương pháp:

- Xác định khoảng nghịch biến dựa vào bảng biến thiên.

Cách giải:

Từ bảng biến thiên, hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right)$

Chọn D.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

- Dựa vào dáng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Hàm số có chiều lõm hướng xuống nên $a < 0.$

Hàm số có ba điểm cực trị nên $ab < 0 \Rightarrow b > 0.$

Hàm số cắt trục tung tại điểm nằm bên dưới trục hoành nên $c < 0.$

Vậy $a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0.$

Chọn D.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ và song song với trục $Oz$ nên nhận vectơ $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{Oz}}} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;3} \right);\,\,\overrightarrow {{u_{Oz}}}  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{Oz}}} } \right] = \left( {1; - 2;0} \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ nên đi qua điểm $\left( {1;0; - 3} \right).$

Vậy phương trình $\left( P \right)$ là: $\left( P \right):\left( {x - 1} \right) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0.$

Chọn A.

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sẽ nhận vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ làm vectơ pháp tuyến

Cách giải:

Vì $\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$ nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;0; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $\left( Q \right):1.\left( {x - 2} \right) - 3.\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3z + 4 = 0.$

Chọn D.

Câu 18 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số đã cho là bậc nhất nên để hàm số có GTNN trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ thì hàm số phải xác định trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right)$ hoặc $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right)$.

Cách giải:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.$

Vì hàm số xác định trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ nên $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right)$ hoặc $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right)$.

Để $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m = 3\end{array} \right.$ (loại).

Để $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\f\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\\frac{{m + 1}}{2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5 \in \left( {3;6} \right].$

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức Logarit

Cách giải:

Ta có: ${\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[5]{{{a^6}}} = {\log _{{a^{ - 1}}}}{a^{\frac{6}{5}}} =  - \frac{6}{5}{\log _a}a =  - \frac{6}{5}.$

Chọn C.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Đưa về phương trình mũ cùng cơ số, sau đó bỏ cơ số, giải phương trình bậc hai thu được.

Cách giải:

Ta có: ${2^{{x^2} - x - 4}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x - 4}} = {2^{ - 4}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 =  - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..$

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Đưa về phương trình tổng quát của mặt cầu.

Cách giải:

Ta có: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 10.$

Vậy mặt cầu có tâm là $\left( {1; - 2;0} \right)$.

Chọn A.

Câu 22 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng định nghĩa nguyên hàm các hàm cơ bản.

Cách giải:

Ta có: $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  = \ln \left| x \right| + C.$

Chọn C.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

- Bỏ Logarit hai vế, đưa về phương trình bậc hai.

Cách giải:

Ta có: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 4 < 1$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên ${x^2} - 5x + 4 \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \emptyset$

Chọn D.

Câu 24 (NB)

Phương pháp:

- Áp dụng điều kiện hàm số mũ và so sánh hai số mũ cùng cơ số.

Cách giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}\\{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < b < 1\end{array} \right..$

Chọn D.

Câu 25 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện xác định của hàm logarit.

Cách giải:

Điều kiện xác định: $x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow D = \left( {0;1} \right)$.

Chọn D.

Câu 26 (NB)

Phương pháp:

- Dựa vào đồ thị, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Chọn C.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

- Chia khối hộp thành các khối tứ diện nhỏ hơn.

Cách giải:

 

Ta chia khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ thành 5 khối tứ diện: $A'BDC',\,\,BA'B'C',\,\,DA'C'D',\,\,C'BCD,\,\,A'ABD$ trong đó các khối tứ diện $BA'B'C',\,\,DA'C'D',\,\,C'BCD,\,\,A'ABD$ có thể tích bằng nhau và bằng $\frac{V}{6}$.

Vậy thể tích khối tứ diện $A'BDC'$ là: ${V_{A'BDC'}} = V - 4.\frac{V}{6} = \frac{V}{3}.$

Chọn B.

Câu 28 (VD)

Phương pháp:

- Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ theo trục tung.

- Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ gồm hai phần: Phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ ứng với $x \ge 0$ và phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ lấy đối xứng qua trục hoành ứng với $x < 0.$

- Số cực trị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ cộng với số cực trị hàm số $y = f\left( x \right) + m$.

Cách giải:

- Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ theo trục tung.

- Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ gồm hai phần: Phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ ứng với $x \ge 0$ và phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ lấy đối xứng qua trục hoành ứng với $x < 0.$

- Số cực trị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ cộng với số cực trị hàm số $y = f\left( x \right) + m$.

Mà số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right) + m$ bằng số cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng $2$ nên để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có $3$ điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ phải cắt trục hoành tại 1 điểm hoặc tại 2 điểm trong đó có 1 điểm là cực trị.

Suy ra $\left[ \begin{array}{l} - m \ge 1\\ - m \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 3\end{array} \right..$

Chọn A.

Câu 29 (TH)

Phương pháp:

- GTNN của hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ đạt được tại giá trị $x$ thỏa mãn $y' = 0$ hoặc $x = 2$ hoặc $x = 4.$

Cách giải:

Ta có: $y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow y =  \pm 1 \notin \left[ {2;4} \right]$.

Mà $f\left( 2 \right) = 7,\,\,f\left( 4 \right) = 57$ nên $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 7$.

Chọn C.

Câu 30 (NB)

Phương pháp:

- Tìm khoảng giá trị $x$ thỏa mãn $y' > 0,\,\,\forall x$ thuộc khoảng đó.

Cách giải:

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn A.

Câu 31 (NB)

Phương pháp:

- Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình $y' = 0.$

Cách giải:

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x + 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ là nghiệm bội chẵn.

Vậy hàm số không có điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 32 (TH)

Phương pháp:

- Hàm số đa thức bậc ba đạt cực đại tại $x = {x_0}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right..$

Cách giải:

Ta có: $y' = {x^2} - mx + \left( {2m - 4} \right);\,\,y'' = 2x - m.$

Để hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} - m.\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {2m - 4} \right)x + 1$ đạt cực đại tại $x = 2$ thì $\left\{ \begin{array}{l}4 - 2m + 2m - 4 = 0\\4 - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4.$

Chọn C.

Câu 33 (VDC)

Phương pháp:

- Tìm thiết diện của $\left( {BMN} \right)$ với hình lăng trụ.

- Sử dụng phương pháp tỉ lệ thể tích, chia khối đa diện.

Cách giải:

 

Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $CC',\,\,K$ là giao điểm của $BI$ và $B'C'.$

Khi đó $MNKB$ là thiết diện của $\left( {BMN} \right)$ với hình lăng trụ, chia hình lăng trục thành hai khối đa diện.

Ta chia khối đa diện $A'MBB'N$ thành hai khối chóp là: $M.A'BN$ và $B.A'NKB'.$

Ta có: ${S_{MNP}} = \frac{1}{4}{S_{AA'C'}} = \frac{1}{8}{S_{AA'C'C}} \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \frac{1}{8}{V_{B.AA'C'C}}.$

Mà: ${V_{B.AA'C'C}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}V \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \frac{V}{{12}}.$

Gọi $J$ là giao điểm của $AC$ và $MN.$

Ta có: $\Delta MA'N = \Delta MAJ \Rightarrow JA = A'N = \frac{1}{2}AC \Rightarrow \frac{{NC'}}{{JC}} = \frac{1}{3}.$

Vì $NC'\,{\rm{//}}\,CJ$ nên $\frac{{IC'}}{{IC}} = \frac{{NC'}}{{JC}} = \frac{1}{3}.$

Vì $C'K\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\frac{{C'K}}{{BC}} = \frac{{IC'}}{{IC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{C'K}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {S_{NKC'}} = \frac{1}{6}{S_{A'B'C'}} \Rightarrow {S_{A'NKB'}} = \frac{5}{6}{S_{A'B'C'}}$

$\Rightarrow {V_{B.A'NKB'}} = \frac{5}{6}{V_{B.A'B'C'}} = \frac{5}{6}.\frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{5}{{18}}V.$

Suy ra: ${V_{A'MBB'N}} = \frac{V}{{12}} + \frac{{5V}}{{18}} = \frac{{13V}}{{36}} \Rightarrow$ Thể tích khối đa diện chứa điểm $A$ bằng $V - \frac{{13V}}{{36}} = \frac{{23V}}{{36}}.$

Chọn C.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

- Tính các giới hạn, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

           $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x =  - 2$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x = 0$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn D.

Câu 35 (VDC)

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $\Delta$: ${d_{B/\Delta }} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}$.

Cách giải:

Gọi $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {a;b;c} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$

Vì đường thẳng $\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \Rightarrow a - 2c = 0 \Leftrightarrow a = 2c \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2c;b;c} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {b - c; - 6c;4b + 2c} \right).$

Khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

${d_{B/\Delta }} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {b - c} \right)}^2} + 36{c^2} + {{\left( {4b + 2c} \right)}^2}} }}{{\sqrt {4{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt {\frac{{17{b^2} + 14bc + 41{c^2}}}{{{b^2} + 5{c^2}}}} .$

Với $c = 0,$ ta có: ${d_{B/\Delta }} = \sqrt {17} .$

Với $c \ne 0,$ ta có: ${d_{B/\Delta }} = \sqrt {\frac{{17{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^2} + 14\left( {\frac{b}{c}} \right) + 41}}{{{{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^2} + 5}}}  = \sqrt {\frac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}}}$ với $t = \frac{b}{c}.$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = \frac{{17{t^2} + 14t + 41}}{{{t^2} + 5}};\,\,f'\left( t \right) = \frac{{ - 14{t^2} + 88t + 70}}{{{{\left( {{t^2} + 5} \right)}^2}}}.$

Ta có: $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 7\\t =  - \frac{5}{7}\end{array} \right..$

Mà $f\left( 7 \right) = 18;\,\,f\left( { - \frac{5}{7}} \right) = \frac{{36}}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{t \to  \pm \infty } f\left( t \right) = 17$ nên $\min f\left( t \right) = f\left( { - \frac{5}{7}} \right) = \frac{{36}}{5}.$

Do đó khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $B$ đến đường thẳng $\Delta$ bằng $\frac{{6\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn C.

Câu 36 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện xác định của hàm số lũy thừa.

Cách giải:

Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \Rightarrow D = \left( {1; + \infty } \right).$

Chọn D.

Câu 37 (NB)

Phương pháp:

- Tính số tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị.

Cách giải:

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x + 2}}{{x - 2}}$ nên đồ thị hàm số có $2$ tiệm cận gồm $1$ tiệm cận ngang và $1$ tiệm cận đứng.

Chọn C.

Câu 38 (NB)

Phương pháp:

- Khối chóp có diện tích đáy ${S_d}$, chiều cao ứng với đáy $h$ thì có thể tích là: $V = \frac{1}{3}h{S_d}.$

Cách giải:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.1.3 = 1.$

Chọn D.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Khối tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc có thể tích là: ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC.$

Cách giải:

Thể tích khối tứ diện là: ${V_{O.ABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1.$

Chọn B.

Câu 40 (NB)

Phương pháp:

- Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {a;b;c} \right),$ bán kính $R$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.$

Cách giải:

Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {2;1;3} \right),$ bán kính $R = 2$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$.

Chọn A.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Tính chiều cao $SA$ và diện tích đáy là tam giác $ABC,$ từ đó tính được thể tích hình chóp.

Cách giải:

 

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC.$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB \bot BC$.

Suy ra: $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {BSC} = 30^\circ .$

Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có $\widehat {BSC} = 30^\circ$ nên $SB = BC.\cot 30^\circ  = a.\sqrt 3  = a\sqrt 3 .$

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có: $SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}}  = a.$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{6}.SA.AB.BC = \frac{1}{6}.a.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.$

Chọn B.

Câu 42 (NB)

Phương pháp:

- Sử dụng điều kiện đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$.

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ nên chọn D.

Chọn D.

Câu 43 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ nên $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {AB}$ là vectơ pháp tuyến.

Cách giải:

Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 2; - 1} \right)$ hay $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2;1} \right).$

Chọn D.

Câu 44 (NB)

Phương pháp:

- Tìm giá trị cực tiểu của hàm số từ bảng biến thiên.

Cách giải:

Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $- \frac{5}{2}.$

Chọn C.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có tâm $I$ là hình chiếu của tâm mặt cầu lên $\left( {Oxy} \right)$ và bán kính $r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}$, trong đó $R$ là bán kính mặt cầu và $h$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến $\left( {Oxy} \right)$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là: $S\left( {1;2; - 1} \right).$ Hình chiếu của $S$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $I\left( {1;2;0} \right).$

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là: $SI = 1.$

Bán kính đường tròn giao tuyến là: $r = \sqrt {5 - 1}  = 2.$

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Biến đổi về phương trình tích, từ đó giải phương trình tích, tìm nghiệm.

Cách giải:

Ta có: ${3.4^x} + \left( {3x - 10} \right){.2^x} + 3 - x = 0 \Leftrightarrow {3.4^x} - {2^x} + 3\left( {x - 3} \right){.2^x} - \left( {x - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {2^x}.\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) + \left( {x - 3} \right).\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3.2}^x} - 1} \right)\left( {{2^x} + x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3.2^x} - 1 = 0\\{2^x} + x - 3 = 0\end{array} \right..$

Với ${3.2^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{3} =  - {\log _2}3.$

Với ${2^x} + x - 3 = 0,$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {2^x} + x - 3$ là hàm đồng biến nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Vậy $a = 2,\,\,b = 3 \Rightarrow a + 2b = 8.$

Chọn C.

Câu 47 (NB)

Phương pháp:

- Tìm vectơ chỉ phương của trục $Oy.$

Cách giải:

Trục $Oy$ có vectơ chỉ phương là: $\left( {0;1;0} \right).$

Chọn C.

Câu 48 (VD)

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức biến đổi Logarit.

Cách giải:

Ta có: ${\log _a}b + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} + {\log _c}b = {\log _a}2016.{\log _c}b$

$\Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 1 = {\log _a}2016 \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}\frac{{2016}}{a} \Leftrightarrow ac = 2016.$

Chọn C.

Câu 49 (VDC)

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tỉ lệ khoảng cách.

Cách giải:

 

Gọi $H$ là trung điểm $AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

Gọi $N$ là trung điểm $BC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow {d_{\left( {SM,BD} \right)}} = {d_{\left( {BD,\left( {SMN} \right)} \right)}} = {d_{\left( {O,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}}.$

Vì tam giác $SAB$ đều có cạnh bằng $a$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

$H$ là trung điểm $AB,\,\,N$ là trung điểm $CD$ nên $HN \bot MN$ và $HN = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ trên $SN.$

Ta có: $\frac{1}{{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}^2}} = \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow {d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}.$

Vậy ${d_{\left( {SM,BD} \right)}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {H,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{20}}.$

Chọn A.

Câu 50 (VD)

Phương pháp:

- Hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{b^2} - 3ac \le 0\end{array} \right..$

Cách giải:

Hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\9 - 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3.$

Chọn A.