Câu 1. Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $SA = a\sqrt 3$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$và $BC = a\sqrt 3$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$                                 B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$   C. $\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$                                         D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.$

Câu 2. Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0,b > 0,c < 0.$                                               B. $a > 0,b > 0,c < 0.\;\;$

C. $a > 0,b < 0,c > 0.$                                               D. $a > 0,b < 0,c < 0.\;$

Câu 3. Khối bát diện đều (như hình vẽ bên dưới) thuộc khối đa diện nào?

A. $\left\{ {3;5} \right\}.$                                          B. $\left\{ {5;3} \right\}.$            C. $\left\{ {3;4} \right\}.$                                D. $\left\{ {4;3} \right\}.$

Câu 4. Cho hình nón có bán kính đáy bằng $a$, góc ở đỉnh bằng ${90^0}.$ Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

A. $a\sqrt 3 .$                  B. $a.$                              C. $2a.$                            D. $a\sqrt 2 .$

Câu 5. Cho $a$ là số thực dương khác $1.$ Giá trị của biểu thức ${\log _3}(3a) - 3{\log _a}\sqrt[3]{a}$ bằng

A. $1 + {\log _3}a.$         B. $- {\log _3}a.$            C. ${\log _3}a.$               D. ${\log _3}a - 1.$

Câu 6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { - 2;2} \right).$                                          B. $\left( { - \infty ;0} \right).$   C. $\left( {1; + \infty } \right).$                    D. $\left( {0;2} \right).$

Câu 7. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $a\sqrt 3$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.$                                  B. $\frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{6}.$          C. $\frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{2}.$                                      D. $\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.$

Câu 8. Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$ và mỗi mặt bên đều có diện tích bằng $4{a^2}.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $2{a^3}\sqrt 6 .$         B. $\frac{{2{a^3}\sqrt 6 .}}{3}.$                               C. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.$                                    D. ${a^3}\sqrt 6 .$

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4 - x} \right)$ là

A. $S = \left( {\frac{2}{3};3} \right).$                       B. $S = \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right).$     C. $S = \left( {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right).$                D. $S = \left( {\frac{3}{2};4} \right).$

Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right){\left( {x - 3} \right)^4}.$ Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là

A. $3.$                              B. $1.$                              C. $4.$                              D. $2.$

Câu 11. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau:

 

Số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là

A. $4.$                              B. $1.$                              C. $2.$                              D. $3.$

Câu 12. Đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + {e^2}} \right)$ là

A. $y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + {e^2}}}.$                    B. $y' = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + {e^2}} \right)}^2}}}.$                       C. $y' = \frac{{2x + 2e}}{{{x^2} + {e^2}}}.$            D. $y' = \frac{{2x + 2e}}{{{{\left( {{x^2} + {e^2}} \right)}^2}}}.$

Câu 13. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A,\,\,AB = 2,\,\,AC = 2\sqrt 2$ và $B'C = 4.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $8\sqrt 2 .$                  B. $4\sqrt 2 .$                  C. $2\sqrt 2 .$                  D. $6\sqrt 2 .$

Câu 14. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có diện tích bằng $4\pi {a^2}.$ Thể tích của khối cầu $\left( S \right)$ bằng

A. $\frac{{64\pi {a^3}}}{3}.$                                     B. $\frac{{\pi {a^3}}}{3}.$          C. $\frac{{4\pi {a^3}}}{3}.$                           D. $\frac{{16\pi {a^3}}}{3}.$

Câu 15.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2.$            B. $\mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0.$                                       C. $\mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 2.$                                    D. $\mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 1.$

Câu 16. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{{x^3} - 8}}$ là

A. $x = 2.$                        B. $x =  - 2.$                     C. $x = 1.$                        D. $x =  - 1.$

Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

 

Hàm số đã cho là

A. $y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}.$                            B. $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.$ C. $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}.$                        D. $y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}.$

Câu 18. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} - 3x + 4}} = 9$ là

A. $2.$                              B. $- 3.$                           C. $3.$                              D. $4.$

Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 12x + 2$ trên đoạn $\left[ { - 3\,;\,0} \right]$ bằng

A. $16.$                            B. $11.$                            C. $2.$                              D. $18.$

Câu 20. Có bao nhiêu hình đa diện trong các hình dưới đây?

 

A. $1.$                              B. $2.$                              C. $3.$                              D. $4.$

Câu 21. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { - 1\,;\,1} \right).$                                     B. $\left( { - \infty \,;\,2} \right).$           C. $\left( {1\,;\, + \infty } \right).$       D. $\left( {2\,;\, + \infty } \right).$

Câu 22. Biết biểu thức $\sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}}}\,\,\left( {x > 0} \right)$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là ${x^\alpha }.$ Khi đó, giá trị của $\alpha$ bằng

A. $\frac{{31}}{{10}}.$   B. $\frac{{23}}{{30}}.$   C. $\frac{{53}}{{30}}.$   D. $\frac{{37}}{{15}}.$

Câu 23. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $BCA$ tạo thành

A. mặt nón.                        B. hình nón.                       C. hình trụ                         D. hình cầu.

Câu 24. Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R = 3.$ Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$ bằng $1.$ Chu vi đường tròn $(C)$ bằng

A. $4\pi .$                         B. $8\pi .$                         C. $2\sqrt 2 \pi .$             D. $4\sqrt 2 \pi .$

Câu 25. Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương khác $1.$ Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. ${\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c.$ B. ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}a}}{{{{\log }_c}b}}.$

C. ${\log _a}(bc) = {\log _a}b + {\log _a}c.$            D. ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b.$

Câu 26. Hàm số nào sau đây có đồ thị là hình vẽ bên dưới?

A. $y = {x^3} - 3x - 1.$    B. $y =  - {x^4} + 3{x^2} - 1.$                                   C. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1.$                                          D. $y =  - {x^3} + 3x - 1.$

Câu 27. Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành

A. lăng trụ.                        B. mặt trụ.                         C. hình trụ.                        D. khối trụ.

Câu 28. Một hình trụ có diện tích toàn phần là $10\pi {a^2}$ và bán kính đáy bằng $a.$ chiều cao của hình trụ đã cho bằng

A. $3a.$                            B. $4a.$                            C. $2a.$                            D. $6a.$

Câu 29. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

 

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. $5.$                              B. $2.$                              C. $0.$                              D. $1.$

Câu 30. Tập xác định của hàm số $y = {({x^2} + 3x - 4)^{ - \pi }}$ là

A. $( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty ).$                      B. $( - 4;\,1).$                   C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 4;\,1} \right\}.$        D. $\mathbb{R}.$

Câu 31. Tất cả giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$ là

A. $m =  - 1;\,m =  - 3.$   B. $m =  - 3.$                   C. $m =  - 1.$                   D. $m = 1;\,m = 3.$

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA = a\sqrt 6$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng ${60^{\rm{O}}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng

A. $4a\sqrt 2 .$                B. $8a\sqrt 2 .$                C. $a\sqrt 2 .$                  D. $2a\sqrt 2 .$

Câu 33.  Biết đồ thị của hàm số $y = \frac{{(2m - 1)x + 3}}{{x - m + 1}}$ ($m$ là tham số) có hai đường tiệm cận. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận và $A(4;7)$. Tổng của tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho $AI = 5$ là

A. $\frac{{42}}{5}.$         B. $2.$                              C. $\frac{{32}}{5}.$         D. $\frac{{25}}{5}.$

Câu 34. Ông An mua một chiếc ô tô giá $700$ triệu đồng. Ông An trả trước $500$ triệu đồng, phần tiền còn lại được thanh toán theo phương thức trả góp với một số tiền cố định hàng tháng, lãi suất $0,75\%$/tháng. Hỏi hàng tháng, ông An phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì ông trả hết nợ? (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian này)

A. $9.236.000$ đồng.       B. $9.316.948$ đồng.       C. $9.970.000$ đồng.       D. $9.971.000$ đồng.

Câu 35. Cho $a,b$ là hai số thực khác $0$ thỏa mãn ${\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {\left( {\sqrt[3]{{256}}} \right)^{3{a^2} - 10ab}}$. Tỉ số $\frac{b}{a}$ bằng

A. $\frac{{76}}{{21}}$    B. $\frac{{76}}{3}$          C. $\frac{{21}}{4}$         D. $\frac{4}{{21}}$

Câu 36. Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$¸$M$ là trung điểm của $BC$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng$\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AM$, góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^o}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$                             B. $\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$         C. $\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}$                                          D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình ${x^3} - 3x + 1 + m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

A. $m \in \left( { - 3;1} \right)$                                 B. $m \in \left( {1;3} \right)$      C. $m \in \left( { - 2;2} \right)$                          D. $m \in \left( { - 1;3} \right)$

Câu 38.  Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y =  - {x^2} + 4x - m$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ bằng $10$. Giá trị của tham số $m$ là

A. $m =  - 6$                    B. $m =  - 7$                    C. $m = 3$                       D. $m = 15$

Câu 39. Tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = {x^3} - m{x^2} - (m - 6)x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;4} \right)$ là

A. $m \le 3$                     B. $3 \le m \le 6$              C. $m \le 6$                     D. $m < 3$

Câu 40. Cho hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = {e^{3{x^2} - 2{x^3}}} - f(x)$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng

A. $f(0)$                           B. $e - f(1)$                      C. $f(1)$                           D. $1 - f(0)$

Câu 41. Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương. Giả sử ${\log _{18}}(2430) = a{\log _{18}}3 + b{\log _{18}}5 + c$. Giá trị của biểu thức $3a + b + 1$ bằng

A. $9$                               B. $11$                             C. $1$                               D. $7$

Câu 42. Cho hình trụ $\left( T \right)$ có chiều cao bằng $8a$. Một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với trục cà cách trục của hình trụ này một khoảng bằng $3a$, đồng thời $\left( \alpha  \right)$ cắt $\left( T \right)$ theo thiết diện là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. $40\pi {a^2}$              B. $30\pi {a^2}$               C. $60\pi {a^2}$              D. $80\pi {a^2}$

Câu 43. Đặt $S = \left( {a;b} \right)$ là tập nghiệm của bất phương trình $3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le {\log _2}{\left( {x + 7} \right)^3} - {\log _2}{\left( {2 - x} \right)^3}$. Tổng của tất cả các giá trị nguyên thuộc $S$ bằng:

A. $- 2$                            B. $- 3$                            C. $2$                               D. $3$

Câu 44. Biết phương trình ${9^x} - {2.12^x} - {16^x} = 0$ có một nghiệm dạng $x = {\log _{\frac{a}{4}}}\left( {b + \sqrt c } \right)$, với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a + 2b + 3c$ bằng

A. $9.$                              B. $2.$                              C. $8.$                              D. $11.$

Câu 45. Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa đường thẳng $A'A$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A. $\frac{{3{a^3}}}{8}.$  B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$                                  C. $\frac{{{a^3}}}{8}.$     D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$

Câu 46. Một hòn đảo ở vị trí $C$ cách bờ biển $d$ một khoảng $BC = 4$km. Trên bờ biển $d$ người ta xây một nhà máy điện tại vị trí $A$. Để kéo đường dây điện ra ngoài đảo, người ta đặt một trụ điện ở vị trí $S$ trên bờ biển (như hình vẽ). Biết rằng khoảng cách từ $B$ đến $A$ là 16 km, chi phí để lắp đặt mỗi km dây điện dưới nước là 20 triệu đồng và lắp đặt ở đất liền là 12 triệu đồng. Hỏi trụ điện cách nhà máy điện một khoảng bao nhiêu để chi phí lắp đặt thấp nhất?

 

A. $16\,{\rm{km}}{\rm{.}}$                                       B. $3\,{\rm{km}}{\rm{.}}$          C. $4\,{\rm{km}}{\rm{.}}$        D. $13\,{\rm{km}}{\rm{.}}$

Câu 47. Người ta thiết kế một chiếc thùng hình trụ có thể tích $V$ cho trước. Biết rằng chi phí làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và gấp 3 lần chi phí làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi $h,r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của thùng. Tỉ số $\frac{h}{r}$ bằng bao nhiêu để chi phí sản xuất chiếc thùng đã cho thấp nhất?

A. $\frac{h}{r} = 2.$       B. $\frac{h}{r} = 6.$        C. $\frac{h}{r} = 8.$       D. $\frac{h}{r} = 3.$

Câu 48. Tất cả giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình ${\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m$ có nghiệm với mọi số thực âm là

A. $m < 2.$                      B. $m \ge 1.$                    C. $0 < m < 1.$                D. $m > 1.$

Câu 49. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$, $SA = a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC;$$M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$. Thể tích của khối tứ diện $AMNG$ bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.$                                  B. $\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.$         C. $\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}.$                                          D. $\frac{{9\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.$

Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y =  - x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{A^2} + O{B^2} = 8$?

A. $0.$                              B. $2.$                              C. $1.$                              D. $3.$

1. A	2. D	3. C	4. D	5. C	6. B	7. B	8. D	9. C	10. D
11. C	12. A	13. B	14. C	15. C	16. A	17. B	18. C	19. D	20. C
21. D	22. B	23. B	24. D	25. B	26. D	27. C	28. B	29. A	30. A
31. C	32. C	33.A	34. B	35. C	36. A	37. A	38. A	39. A	40. D
41. B	42. D	43. A	44. D	45. A	46. D	47. B	48. B	49. A	50. B

 

Câu 1 

Phương pháp:

- Áp dụng định lí Pytago tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông cân $ABC$, từ đó tính diện tích $\Delta ABC$.

- Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao hình chóp

Cách giải:

 

Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ ta có

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}$$\Leftrightarrow A{B^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$.

$\Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = AC \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{3{a^2}}}{4}$.

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.

Chọn A.

Câu 2 

Phương pháp:

Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

- Đồ thị có nhánh cuối cùng đi lên (xuống) suy ra $a > 0\,\,\left( {a < 0} \right)$.

- Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm trên (dưới) trục hoành suy ra $c > 0\,\,\left( {c < 0} \right)$.

- Hàm số có 3 (1) điểm cực trị suy ra $ab < 0$ $\left( {ab \ge 0} \right)$.

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy:

- Nhánh cuối cùng của đồ thị đi lên nên $a > 0$.

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục hoành nên $c < 0$.

- Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên $ab < 0 \Rightarrow b < 0$ (vì $a > 0$)

Vậy $a > 0,b < 0,c < 0$.

Chọn D.

Câu 3 

Phương pháp:

Sử dụng: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn

+ Các mặt của nó là các đa giác đều p cạnh.

+ Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại $\left\{ {p;q} \right\}$.

Cách giải:

Hình bát diện đều có các mặt là tam giác đều nên $p = 3$ và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt nên $q = 4.$

Vậy khối bát diện đều là khối đa diện $\left\{ {3;4} \right\}$.

Chọn C.

Câu 4

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài đường sinh của hình nón.

Cách giải:

 

Đường kính đáy là $AB = 2a$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, ta có $S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}$$\Leftrightarrow S{A^2} + S{A^2} = {\left( {2a} \right)^2}$.

$\Leftrightarrow 2S{A^2} = 4{a^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2$.

Vậy đường sinh của hình nón là $l = a\sqrt 2$.

Chọn D.

Câu 5

Phương pháp:

Sử dụng công thức : ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c,$${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$ với $0 < a \ne 1;b,c > 0$.

Cách giải:

Với $a > 0,\,\,a \ne 1$ ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,{\log _3}\left( {3a} \right) - 3{\log _a}\sqrt[3]{a}\\ = {\log _3}3 + {\log _3}a - {\log _a}{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3}\\ = 1 + {\log _3}a - {\log _a}a\\ = 1 + {\log _3}a - 1\\ = {\log _3}a\end{array}$

Chọn C.

Câu 6 

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số để tìm khoảng nghịch biến: Trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ quan sát từ trái qua phải, đồ thị hàm số đi xuống thì hàm số nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy với $x \in \left( { - \infty ;0} \right)$ thì đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Chọn B.

Câu 7

Phương pháp:

- Xác định đường cao của khối chóp đều.

- Sử dụng định lí Pytago để tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao hình chóp.

Cách giải:

 

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của hình vuông $ABCD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Theo bài ra ta có : $AB = a;\,\,SA = a\sqrt 3$.

Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có $AC = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2$ $\Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ ta có $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}$$= \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$.

Vậy thể tích khối chóp là ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$$= \frac{1}{3}.SO.A{B^2} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {10} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{6}$.

Chọn B.

Câu 8

Phương pháp:

- Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng, dựa vào đó tính chiều cao của lăng trụ.

-  Thể tích lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao lăng trụ.

Cách giải:

 

Các mặt bên của hình lăng trụ tam giác đều là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABB'A'$ ta có ${S_{ABB'A'}} = AB.AA'$ $\Leftrightarrow 4{a^2} = a\sqrt 2 .AA' \Leftrightarrow AA' = 2a\sqrt 2$.

Diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ (Do tam giác $ABC$ đều).

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2a\sqrt 2 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 6$.

Chọn D.

Câu 9 

Phương pháp:

Giải bất phương trình dạng ${\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)$  (với $0 < a < 1$)

Cách giải:

Ta có: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4 - x} \right)$

$\Leftrightarrow 0 < 3x - 2 < 4 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\4x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left( {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right).$

Chọn C.

Chú ý: Khi giải phương trình hoặc bất phương trình lôgarit cần phải đặc biệt chú ý đến điều kiện xác định của phương trình.

Câu 10

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)$ là đa thức là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right) = 0$.

Cách giải:

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right){\left( {x - 3} \right)^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Trong các nghiệm trên có $x = 3$ là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị $x = 1,\,\,x = 2$.

Chọn D.

Câu 11

Phương pháp:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ $\left( C \right)$ xác định trên $D$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0};$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$.

Đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty ;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty$ .

Cách giải:

Từ BBT ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = 1$ nên $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) =  - \infty$ nên $x =  - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai đường tiệm cận.

Chọn C.

Câu 12 

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm: $\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}$.

Cách giải:

Ta có $y' = \left( {\ln \left( {{x^2} + {e^2}} \right)} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + {e^2}} \right)'}}{{{x^2} + {e^2}}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + {e^2}}}$.

Chọn A.

Câu 13 

Phương pháp:

- Tính diện tích đáy, sử dụng công thức diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

- Áp dụng định lí Pytago để tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Thể tích lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao lăng trụ.

Cách giải:

 

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2  = 2\sqrt 2$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2\sqrt 3$.

Xét tam giác $BB'C$ vuông tại $B$ ta có $BB' = \sqrt {B'{C^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{4^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2$.

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = BB'.{S_{\Delta ABC}} = 2.2\sqrt 2  = 4\sqrt 2$.

Chọn B.

Câu 14

Phương pháp:

- Mặt cầu có bán kính $R$ thì có diện tích $S = 4\pi {R^2}$, từ đó tính bán kính $R$.

- Thay vào công thức $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ tính thể tích khối cầu.

Cách giải:

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ta có $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2} \Rightarrow R = a$.

Vậy thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3}\pi {a^3}$.

Chọn C.

Câu 15

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$.

Cách giải:

Trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ ta thấy điểm thấp nhất của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ $\left( { - 2; - 2} \right)$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ là $- 2$, đạt được khi $\left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Chọn C.

Câu 16 

Phương pháp:

Đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn : $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty ;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty$ .

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Sử dụng MTCT ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 8}}{{{x^3} - 8}} =  + \infty$.

 

Vậy đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^3} - 8}}$.

Chọn A.

Câu 17 

Phương pháp:

- Quan sát BBT xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, từ đó loại đáp án: Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có $y = \frac{a}{c}$ là tiệm cận ngang và $x =  - \frac{d}{c}$  là tiệm cận đứng.

Cách giải:

Từ BBT ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty }  = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty \end{array} \right.$ nên $y = 1$ là tiệm cận ngang và $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Từ các đáp án ta thấy đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$ có $y = 1$ là tiệm cận ngang và $x = 1$ là tiệm cận đứng.

Chọn B.

Câu 18 

Phương pháp:

Giải phương trình mũ dạng ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{3^{{x^2} - 3x + 4}} = 9 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Tổng các nghiệm của phương trình là $2 + 1 = 3.$

Chọn C.

Câu 19

Phương pháp:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right] \subset D$ ($D$ là TXĐ của hàm số).

- Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm được các nghiệm ${x_i} \in \left[ {a;b} \right]$ và các giá trị ${x_j}$ làm cho $f'\left( x \right)$ không xác định

- Tính $f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)$

- Khi đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}$

Cách giải:

Đặt $y = f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 2$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $\left[ { - 3;0} \right] \subset \mathbb{R}$.

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \notin \left[ { - 3;0} \right]\\x =  - 2 \in \left[ { - 3;0} \right]\end{array} \right.$

Ta có $f\left( 0 \right) = 2;f\left( { - 3} \right) = 11;f\left( { - 2} \right) = 18$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 18$.

Chọn D.

Câu 20 

Phương pháp:

Khối đa diện $\left( H \right)$ là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $\left( H \right)$ luôn thuộc $\left( H \right)$

Cách giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy có hình 1 không phải hình đa diện.

Ba hình còn lại đều là hình đa diện.

Chọn C.

Câu 21 

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$

Nếu đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$nằm phía trên trục hoành thì $f'\left( x \right) > 0$ hay hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến

Nếu đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$nằm phía dưới trục hoành thì $f'\left( x \right) > 0$ hay hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ thì đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ nằm phía trên trục hoành nên $f'\left( x \right) > 0$ hay hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến.

Chọn D.

Câu 22

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}},{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\left( {a > 0} \right)$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}}}\,\, = \sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}}}}\\ = \sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{{x^3}{x^{\frac{5}{2}:3}}}} = \sqrt[5]{{{x^3}{x^{\frac{5}{6}}}}}\\ = \sqrt[5]{{{x^{3 + \frac{5}{6}}}}} = \sqrt[5]{{{x^{\frac{{23}}{6}}}}} = {x^{\frac{{23}}{6}.\frac{1}{5}}} = {x^{\frac{{23}}{{30}}}}\end{array}$  

Vậy $\alpha  = \frac{{23}}{{30}}$.

Chọn B.

Câu 23 

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hình nón tròn xoay.

Cách giải:

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $BCA$ tạo thành hình nón.

 

Chọn B.

Câu 24 

Phương pháp:

- Sử dụng định lý Pytago để tính bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến.

- Chu vi đường tròn bán kính $r$ là $C = 2\pi r$.

Cách giải:

 

Theo bài ra ta có $OA = R = 3,\,\,OH = d\left( {O;\left( P \right)} \right) = 1$.

Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ thì $HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}$$= \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = 2\sqrt 2$.

Vậy chu vi đường tròn cần tìm là $C = 2\pi .HA = 2\pi .2\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \pi$.

Chọn D.

Câu 25

Phương pháp:

Sử dụng các công thức với $a,b,c$ dương và khác $1$.

$\begin{array}{l}{\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\\{\log _a}(bc) = {\log _a}b + {\log _a}c\\{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\\{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\end{array}$

Cách giải:

Vì ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$ nên câu B sai.

Chọn B.

Câu 26 

Phương pháp:

- Sử dụng dạng đồ thị nhận biết hàm số đa thức bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ hay bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

- Dựa vào nhánh cuối cùng của đồ thị suy ra dấu của hệ số $a$.

Cách giải:

Từ hình vẽ ta suy ra đồ thị của hàm đa thức bậc ba nên loại B và C.

Vì từ đồ thị hàm số ta thấy nhánh cuối cùng của đồ thị đi xuống nên $a < 0$, do đó loại đáp án A.

Vậy chỉ có hàm số $y =  - {x^3} + 3x - 1$ thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 27

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hình trụ tròn xoay.

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ xung quanh cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành hình trụ có chiều cao $AB$ và bán kính đáy là $AD.$

 

Chọn C.

Câu 28 

Phương pháp:

Hình trụ có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ thì có diện tích toàn phần là ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$.

Cách giải:

Gọi $h$ là chiều cao hình trụ

Ta có ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10\pi {a^2} = 2\pi a.h + 2\pi {a^2}\\ \Leftrightarrow 2\pi ah = 8\pi {a^2}\\ \Leftrightarrow h = 4a\end{array}$

Chọn B.

Câu 29 

Phương pháp:

Quan sát BBT để tìm giá trị cực đại của hàm số.

Cách giải:

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và giá trị cực đại là $y = 5.$

Chọn A.

Chú ý: Phân biệt điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

Câu 30 

Phương pháp::

Hàm số ${\left( {f\left( x \right)} \right)^\alpha }$ với $\alpha$ không là số nguyên xác định khi và chỉ khi $f\left( x \right)$ xác định và $f\left( x \right) > 0$.

Cách giải:

Hàm số $y = {({x^2} + 3x - 4)^{ - \pi }}$ có $- \pi  \notin \mathbb{Z}$.

ĐK: ${x^2} + 3x - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 4\end{array} \right.$.

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).$

Chọn A.

Câu 31 

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x = {x_0}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại ${x_0}$ và $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2mx + mx + {m^2} - {x^2} - mx - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\end{array}$

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ là:

$y'\left( 2 \right) = 0$$\Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m.2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 3 = 0\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 3\end{array} \right.$

Với $m =  - 3$ ta có $y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$.

Lại có

$\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 6} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2} - 2\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 6} \right)\left( {x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\end{array}$

$\Rightarrow y''\left( 2 \right) =  - 2 < 0$ nên $x = 2$ là điểm cực đại của hàm số. Hay $m =  - 3$ không thỏa mãn.

Với $m =  - 1$ ta có $y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Lại có

$\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\end{array}$

$\Rightarrow y''\left( 2 \right) = 2 > 0$ nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn).

Vậy $m =  - 1$ thỏa mãn đề bài.

Chọn C.

Câu 32

Phương pháp:

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của khối chóp.

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

- Tính toán bán kính mặt cầu ngoại tiếp dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Cách giải:

 

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$ hay $\widehat {SBC} = {90^0}$

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$ hay $\widehat {SDC} = {90^0}$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$ hay $\widehat {SAC} = {90^0}$

Từ đó ba đỉnh $A,B,D$ cùng nhìn cạnh $SC$ dưới một góc vuông $A,\,\,B,\,\,D$ thuộc mặt cầu đường kính $SC$, do đó trung điểm $I$ của  $SC$ cách đều 5 điểm $S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$.

Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R = \frac{{SC}}{2}$

Ta có $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$ nên $\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {60^0}$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SC = \frac{{SA}}{{\sin \angle SCA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sin {{60}^0}}}$$= a\sqrt 6 :\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2$.

Chọn C.

Câu 33 

Phương pháp:

- Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có $y = \frac{a}{c}$ là đường tiệm cận ngang và $x =  - \frac{d}{c}$ làm tiệm cận đứng.

- Từ đó sử dụng $AI = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_A}} \right)}^2}}$ để tìm $m$.

Cách giải:

Điều kiện: $x \ne m - 1$.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì $\left( {2m - 1} \right)\left( { - m + 1} \right) - 3 \ne 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 3m - 4 \ne 0$ (luôn đúng).

Ta có:

Đường thẳng $x = m - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đường thẳng $y = 2m - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra, giao điểm của hai tiệm cận là $I\left( {m - 1;2m - 1} \right)$.

Theo bài ra ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,AI = 5 \Rightarrow A{I^2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1 - 4} \right)^2} + {\left( {2m - 1 - 7} \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} + {\left( {2m - 8} \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow 5{m^2} - 42m + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{32}}{5}\\m = 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tổng các giá trị của $m$ thỏa mãn là $2 + \frac{{32}}{5} = \frac{{42}}{5}$.

Chọn A.

Câu 34 

Phương pháp:

Sử dụng bài toán trả góp

Số tiền còn lại sau tháng thứ $n$ là ${S_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}$ với $a$ là số tiền nợ ban đầu, $r$ là lãi suất, $m$ là số tiền trả hàng tháng.

Để trả hết nợ thì ${S_n} = 0$ từ đó ta tìm ra $m.$

Cách giải:

Số tiền ông An còn nợ là 200 triệu đồng

Số tiền còn lại sau tháng thứ $n$ là ${S_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}$

$\Rightarrow {S_{24}} = 200{\left( {1 + 0,75\% } \right)^{24}} - m.\frac{{{{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{24}} - 1}}{{0,75\% }}$

Để trả hết nợ sau 2 năm $= 24$ tháng thì ${S_{24}} = 0$

Hay $200{\left( {1 + 0,75\% } \right)^{24}} - m.\frac{{{{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{24}} - 1}}{{0,75\% }} = 0$$\Leftrightarrow m = \frac{{0,75\% .200.{{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{24}}}}{{{{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{24}} - 1}} = 9,316948$

Vậy hàng tháng ông An phải trả 9137000 đồng thì sau hai năm ông An hết nợ

Chọn B.

Câu 35 

Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng cùng cơ số: ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {\left( {\sqrt[3]{{256}}} \right)^{3{a^2} - 10ab}}\\ \Leftrightarrow {64^{ - {a^2} - 4ab}} = {256^{\frac{{3{a^2} - 10ab}}{3}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{4^3}} \right)^{ - {a^2} - 4ab}} = {\left( {{4^4}} \right)^{\frac{{3{a^2} - 10ab}}{3}}}\\ \Leftrightarrow {4^{ - 3{a^2} - 12ab}} = {4^{\frac{{12{a^2} - 40ab}}{3}}}\\ \Leftrightarrow  - 3{a^2} - 12ab = \frac{{12{a^2} - 40ab}}{3}\\ \Leftrightarrow 21{a^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 21a - 4b = 0\,\,\left( {do\,\,a > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 21a = 4b \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{{21}}{4}\end{array}$

Vậy $\frac{b}{a} = \frac{{21}}{4}.$

Chọn C.

Câu 36 

Phương pháp::

- Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao hình chóp

- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\\{d_1} \bot a;{d_1} \subset \left( P \right)\\{d_2} \bot a;{d_2} \subset \left( Q \right)\end{array} \right.$ thì góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là góc giữa hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$.

- Tính toán dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cách giải:

 

Vì tam giác $ABC$ đều có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$$\Leftrightarrow BC \bot SM$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC,\,\,AM \subset \left( {ABC} \right)\\SM \bot BC,\,\,SM \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $AM$ và $SM$, hay $\angle SMA = {60^0}$

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = HM = \frac{{AM}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Xét tam giác $SHM$ vuông tại $M$ ta có $SH = HM.\tan \angle SMA$$= \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\sqrt 3  = \frac{{3a}}{4}$.

Diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ (do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$).

Vậy thể tích khối chóp là ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}$ $= \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$.

Chọn A.

Câu 37 

Phương pháp:

- Cô lập $m$, đưa về sự tương giao của hai đồ thị hàm số: Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)$.

- Lập BBT của hàm số không chứa $m$, từ đó tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có ${x^3} - 3x + 1 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - {x^3} + 3x - 1\,\,\left( * \right)$.

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3x - 1$ và đường thẳng $y = m$ song song với trục hoành.

Xét hàm số $y =  - {x^3} + 3x - 1$ có $y' =  - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.$.

BBT :

 

Từ BBT ta thấy đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3x - 1$ tại 3 điểm phân biệt khi $- 3 < m < 1$ hay $m \in \left( { - 3;1} \right)$.

Chọn A.

Câu 38 

Phương pháp:

- Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right] \subset D$ theo $m$.

+ Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm được các nghiệm ${x_i} \in \left[ {a;b} \right]$ và các giá trị ${x_j}$ làm cho $f'\left( x \right)$ không xác định

+ Tính $f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)$

+ Khi đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {{x_i}} \right),f\left( {{x_j}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}$.

- Giải phương trình $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 10$ tìm $m$.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' =  - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]$.

Ta có $y\left( { - 1} \right) =  - 5 - m;\,\,\,y\left( 2 \right) = 4 - m$ và $y\left( 3 \right) = 3 - m$.

Vì $4 - m > 3 - m >  - 5 - m$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 4 - m = 10 \Leftrightarrow m =  - 6$.

Vậy $m =  - 6$.

Chọn A.

Câu 39 

Phương pháp:

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right) \ge 0$ với $\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$.

- Từ đó cô lập $m$ để đưa về dạng $m \le g\left( x \right)\,\,\forall a \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)$, lập BBT của hàm $g\left( x \right)$ trên $\left( {a;b} \right)$ sau đó suy ra $m$.

Cách giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có: $y' = 3{x^2} - 2mx - m + 6$.

Để hàm số đồng biến trên $\left( {0;4} \right)$ thì $y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;4} \right)$ hay $3{x^2} - 2mx - m + 6 \ge 0,\forall x \in \left( {0;4} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( {2x + 1} \right) \le 3{x^2} + 6$ $\Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} + 6}}{{2x + 1}}$ (*) (vì $x \in \left( {0;4} \right) \Rightarrow 2x + 1 > 0$)

Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 6}}{{2x + 1}};x \in \left( {0;4} \right)$

Ta có $g'\left( x \right) = \frac{{6x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {3{x^2} + 6} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}$$= \frac{{6{x^2} + 6x - 12}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}$

Giải phương trình $g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6{x^2} + 6x - 12 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;4} \right]\\x =  - 2 \notin \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.$.

Ta có BBT:

 

Từ BBT ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 3$, do đó $\left( * \right) \Leftrightarrow m \le 3$.

Chọn A.

Câu 40 

Phương pháp:

- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right)$, đánh giá và sử dụng giả thiết chứng minh $g'\left( x \right) > 0$.

- Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$ là $f\left( a \right)$.

Cách giải:

TXĐ : $D = \mathbb{R}$.

Ta có $g'\left( x \right) = \left( {6x - 6{x^2}} \right){e^{3{x^2} - 2{x^3}}} - f'\left( x \right)$

Vì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $f'\left( x \right) \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow  - f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Lại có $\left( {6x - 6{x^2}} \right){e^{3{x^2} - 2{x^3}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$, do đó $g'\left( x \right) \ge 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = {e^0} - f\left( 0 \right) = 1 - f\left( 0 \right)$.

Chọn D.

Câu 41

Phương pháp:

Sử dụng các công thức (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

$\begin{array}{l}{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\\{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\end{array}$

Cách giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,{\log _{18}}2430 = {\log _{18}}\left( {{3^3}.5.18} \right)\\ = {\log _{18}}{3^3} + {\log _{18}}5 + {\log _{18}}18\\ = 3{\log _{18}}3 + {\log _{18}}5 + 1\\ \Rightarrow a = 3,\,\,\,b = 1,\,\,c = 1.\end{array}$

Vậy $3a + b + 1 = 3.3 + 1 + 1 = 11$.

Chọn B.

Câu 42 

Phương pháp:

- Gọi $H$ là trung điểm của $AB$  $\Rightarrow OH$ là khoảng cách từ $OO'$ đến $\left( \alpha  \right)$  $\Rightarrow OH$.

- Áp dụng định lí Pytago tính bán kính đáy của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh$.

Cách giải:

 

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$  $\Rightarrow OH$ là khoảng cách từ $OO'$ đến $\left( \alpha  \right)$ $\Rightarrow OH = 3a$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = OO' = 8a = h$ .

$\Rightarrow BH = \frac{{AB}}{2} = 4a$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$ nên $OB = \sqrt {B{H^2} + O{H^2}}  = \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}}  = 5a = R$.

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là : ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .5a.8a = 80\pi {a^2}$.

Chọn D.

Câu 43 

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Biến đổi bất phương trình đã cho về cùng cơ số, sử dụng các công thức

$\begin{array}{l}{\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\\{\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\end{array}$

(Giả sử các biểu thức có nghĩa).

- Giải bất phương trình dạng ${\log _a}f\left( x \right) \le {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < f\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array} \right.$.

Cách giải:

Ta có : $3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le {\log _2}{\left( {x + 7} \right)^3} - {\log _2}{\left( {2 - x} \right)^3}$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\{\left( {x + 7} \right)^3} > 0\\{\left( {2 - x} \right)^3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\x >  - 7\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < x < 2$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le {\log _2}{\left( {x + 7} \right)^3} - {\log _2}{\left( {2 - x} \right)^3}\\ \Leftrightarrow 3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le 3{\log _2}\left( {x + 7} \right) - 3{\log _2}\left( {2 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) - 1 \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) - {\log _2}\left( {2 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) + {\log _2}\left( {2 - x} \right) \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} \right] \le {\log _2}\left[ {2\left( {x + 7} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) \le 2\left( {x + 7} \right)\,\\ \Leftrightarrow  - {x^2} - x + 6 \le 2x + 14\end{array}$ 

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 8 \ge 0$  (luôn đúng)

Kết hợp với ĐK ta được $- 3 < x < 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 3;2} \right)$.

$\Rightarrow$ các giá trị nguyên thuộc $S$ là $- 2; - 1;0;1$, chúng có tổng bằng : $\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 =  - 2$.

Chọn A.

Câu 44

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của bất phương trình cho ${16^x} > 0$.

- Đặt ẩn phụ $t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn $t$.

- Giải phương trình tìm $t$, từ đó tìm $x$.

Cách giải:

Chia cả hai vế của bpt cho ${16^x} > 0$ ta được :

${\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^x} - 2.{\left( {\frac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} - 1 = 0$

Dặt $t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} > 0$ ta được: ${t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\\t = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$

Suy ra ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = 1 + \sqrt 2  \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$

$\Rightarrow a = 3,\,\,b = 1,\,\,c = 2$.

Vậy $a + 2b + 3c = 3 + 2.1 + 3.2 = 11$.

Chọn D.

Câu 45 

Phương pháp:

- Xác định góc giữa $A'A$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $A'A$ và hình chiếu của $A'A$ lên $\left( {ABC} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ $V = Bh$  với $B,\,\,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ.

Cách giải:

 

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow AH$ là hình chiếu vuông góc của $A'A$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {A'A;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'A;AH} \right) = \angle A'AH = {60^0}$.

Xét tam giác vuông $A'AH$ ta có : $A'H = AH\tan \angle A'AH = \frac{{AB}}{2}\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Diện tích đáy ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$  (do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$).

Vậy thể tích khối lăng trụ là : $V = {S_{ABC}}.A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}$.

Chọn A.

Câu 46 

Phương pháp:

- Đặt $SA = x$, lập hàm số chi phí lắp đặt $f\left( x \right)$ theo biến $x$.

- Tìm GTNN của hàm số $f\left( x \right)$ và kết luận.

Cách giải:

Đặt $SA = x\,\,\left( {0 \le x \le 16} \right) \Rightarrow BS = 16 - x$

Tam giác $CBS$ vuông tại $B$ nên $CS = \sqrt {{4^2} + {{\left( {16 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 32x + 272}$

Khi đó :

+) Chi phí lắp đặt trên đất liền là $12x$ (triệu)

+) Chi phí lắp đặt dưới nước là $20\sqrt {{x^2} - 32x + 272}$ (triệu)

$\Rightarrow$ Tổng chi phí lắp đặt là : $f\left( x \right) = 12x + 20\sqrt {{x^2} - 32x + 272}$

Có

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12 + 20.\frac{{2x - 32}}{{2\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\ = 12 + \frac{{20\left( {x - 16} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\ = \frac{{12\sqrt {{x^2} - 32x + 272}  + 20\left( {x - 16} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 32x + 272} }}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12\sqrt {{x^2} - 32x + 272}  + 20\left( {x - 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12\sqrt {{x^2} - 32x + 272}  =  - 20\left( {x - 16} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20\left( {x - 16} \right) \ge 0\\144\left( {{x^2} - 32x + 272} \right) = 400{\left( {x - 16} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 16\\256{x^2} - 8192x + 63232 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 16\\\left[ \begin{array}{l}x = 19\\x = 13\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 13\end{array}$

BBT :

 

Từ BBT ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đạt GTNN bằng $256$ khi $x = 13$.

Vậy $SA = 13\left( {km} \right)$.

Chọn D.

Câu 47 

Phương pháp:

- Từ công thức tính thể tích $V = \pi {r^2}h$, rút $h$ theo $r$ và $V$.

- Lập hàm số biểu thị chi phí sản xuất thùng $f\left( r \right)$ và tìm GTNN của $f\left( r \right)$.

Cách giải:

Ta có : $V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}$.

Gọi $A$ là chi phí làm đáy và nắp thì $\frac{A}{3}$ là chi phí làm mặt xung quanh.

Diện tích đáy ${S_{day}} = \pi {r^2}$

Diện tích xung quanh ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{{2V}}{r}$

+) Chi phí làm đáy và nắp là : $A.2{S_{day}} = 2A\pi {r^2}$  

+) Chi phí làm mặt xung quanh là : $\frac{A}{3}.{S_{xq}} = \frac{A}{3}.\frac{{2V}}{r} = \frac{{2AV}}{{3r}}$

Tổng chi phí làm thùng là $f\left( r \right) = 2A\pi {r^2} + \frac{{2AV}}{{3r}} = 2A\left( {\pi {r^2} + \frac{V}{{3r}}} \right)$

Ap dụng BĐT Cô si ta có :

$\begin{array}{l}\pi {r^2} + \frac{V}{{3r}} = \pi {r^2} + \frac{V}{{6r}} + \frac{V}{{6r}} \ge 3\sqrt[3]{{\pi {r^2}.\frac{V}{{6r}}.\frac{V}{{6r}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\\ \Rightarrow f\left( r \right) \ge 2A.3\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}} = 6A\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\\ \Rightarrow \min f\left( r \right) = 6A\sqrt[3]{{\frac{{\pi {V^2}}}{{36}}}}\end{array}$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi $\pi {r^2} = \frac{V}{{6r}} \Leftrightarrow V = 6\pi {r^3}$

Mà $V = \pi {r^2}h \Rightarrow 6\pi {r^3} = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = 6r \Rightarrow \frac{h}{r} = 6$.

Chọn B.

Câu 48 

Phương pháp:

- Giải bất phương trình đã cho tìm tập nghiệm $S$.

- Bất phương trình  có nghiệm với mọi số thực âm nghĩa là mọi số âm đều là nghiệm của bất phương trình. Điều này tương đương $\left( { - \infty ;0} \right) \subset S$.

Cách giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + 1 > 0\\{\log _2}\left( {{3^x} + 1} \right) > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0$.

Với $m > 0$ ta có :

$\begin{array}{l}{\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} + 1} \right) < m\\ \Leftrightarrow {3^x} + 1 < {2^m}\\ \Leftrightarrow {3^x} < {2^m} - 1\\ \Leftrightarrow x < {\log _3}\left( {{2^m} - 1} \right)\end{array}$

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {{2^m} - 1} \right)} \right)$.

Bất phương trình có nghiệm với mọi số thực âm, nghĩa là mọi số âm đều là nghiệm của bất phương trình.

Điều này tương đương $\left( { - \infty ;0} \right) \subset S$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - \infty ;0} \right) \subset \left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {{2^m} - 1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}\left( {{2^m} - 1} \right) \Leftrightarrow {2^m} - 1 \ge 1\\ \Leftrightarrow {2^m} \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1\end{array}$

Chọn B.

Câu 49 

Phương pháp:

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

- Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

- Tính tỉ số thể tích các khối chóp $A.MNE$ và $A.CBS$, từ đó suy ra ${V_{AMNE}}$ .

- Tính tỉ số $\frac{{{V_{AMNG}}}}{{{V_{AMNE}}}}$, từ đó suy ra thể tích ${V_{AMNG}}$.

Cách giải:

 

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

Ta có : $\Delta MNE$ đồng dạng $\Delta CBS$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow \frac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{CBS}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{A.MNE}}}}{{{V_{A.CBS}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{MNE}}.d\left( {A,\left( {MNE} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{CBS}}.d\left( {A,\left( {CBS} \right)} \right)}} = \frac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{CBS}}}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{AMNE}} = \frac{1}{4}{V_{A.CBS}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABC}}\end{array}$

Mà ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

$\Rightarrow {V_{AMNE}} = \frac{1}{4}.\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$

Lại có : $\frac{{{V_{AMNG}}}}{{{V_{AMNE}}}} = \frac{{AM}}{{AM}}.\frac{{AN}}{{AN}}.\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow {V_{AMNG}} = \frac{2}{3}{V_{AMNE}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$.

Chọn A.

Câu 50

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.

- Tìm giao điểm $A,B$, từ đó thay vào đẳng thức bài cho tìm $m$.

Chú ý định lý Viet cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm :

$\begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{x - 1}} =  - x + m\,\,\,\,\,\left( {DK:x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 = \left( {x - 1} \right)\left( { - x + m} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 =  - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - m.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 8 > 0,\forall m\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$

Do đó với mọi $m$ thì đường thẳng $y =  - x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $A,B$ với $A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right),B\left( {{x_2}; - {x_2} + m} \right)$ và ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.$  (định lí Vi-ét).

Ta có :

$\begin{array}{l}OA = \sqrt {x_1^2 + {{\left( { - {x_1} + m} \right)}^2}} ;\,\,\,OB = \sqrt {x_2^2 + {{\left( { - {x_2} + m} \right)}^2}} \\ \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = 8\\ \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( { - {x_1} + m} \right)^2} + x_2^2 + {\left( { - {x_2} + m} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2x_1^2 + 2x_1^2 - 2m{x_1} - 2m{x_2} + 2{m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 8\\ \Rightarrow 2\left[ {{m^2} - 2\left( {m - 2} \right)} \right] - 2m.m + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 8 - 2{m^2} + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn B.