PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm).

Chọn phương án trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1. Điều kiện để biểu thức $M = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}$ xác định là

A. $x > 1$

B. $x > 0$

C. $x > 0\,\,;\,\,x \ne 1$

D. $x \ge 0\,\,;\,\,x \ne 1$

Câu 2. Giá trị của biểu thức $P = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }$ là        

A. $2\sqrt 2$

B. $- 2$         

C. $2$

D. $- 2\sqrt 2$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,\,\,\angle ABC = {60^0},$ cạnh $AB = 5cm.$ Độ dài cạnh $AC$ là

A. $10cm$ 

B. $\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}cm$

C. $5\sqrt 3 cm$

D. $\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}cm$

Câu 4. Hình vuông cạnh bằng $2cm,$ bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là

A. $1cm$                          B. $2cm$       

C. $2\sqrt 2 cm$                      D.$\sqrt 2 cm$

Câu 5. Trong hình vẽ dưới đây, biết góc $\angle ASC = {40^0},\,\,SA$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O.$ Góc $\angle ACS$ có số đo bằng

A. ${40^0}$                           B. ${30^0}$   

C. ${25^0}$                           D. ${20^0}$

Câu 6. Số giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = \left( {{m^2} - 9} \right)x + 3$ nghịch biến là

A. $5$                         B. $4$

C. $2$                         D. $3$

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm).

Câu 7: (1,7 điểm)$A,$

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{{3x + 9}}{{9 - x}},$ với $x \ge 0\,;\,\,x \ne 9.$

a) Rút gọn biểu thức $A.$

b) Tìm giá trị của $x$ để $A = \dfrac{1}{3}.$

Câu 8: (1,5 điểm)

Cho phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0,$ với $x$ là ẩn; $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = 2.$

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}{x_2} + 1$

Câu 9: (2,5 điểm)

Cho tam giác  $ABC$ vuông tại  đường cao $AH\,\,\,\left( {H \in BC} \right).$ Đường tròn đường kính $AH$ cắt hai cạnh $AB,AC$ theo thứ tự là $M$ và $N.$

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là tứ giác nội tiếp.

c) Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MN$ cắt $BC$ tại $I.$ Chứng minh rằng $\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{4}{{A{B^2} + A{C^2}}}.$

Câu 10: (1,5 điểm)

a) Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh dự định tổ chức hội nghị tại hội trường $500$ chỗ ngồi của trường THPT chuyên Bắc Ninh, hội trường được chia thành từng dãy ghế, mỗi dãy ghế có số chỗ ngồi như nhau. Vì có $567$ người dự hội nghị nên ban tổ chức phải kê thêm $1$ dãy ghế, đồng thời phải kê thêm $2$ chỗ ngồi cho tất cả các dãy ghế thì vừa đủ số chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu hội trường có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?

b) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất của $A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right).$

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1

Phương pháp:

Biểu thức $\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0.$

Biểu thức $\sqrt {f\left( x \right)}$ xác định $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.$

Cách giải:

Ta có: $M = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..$

Chọn D.

Câu 2

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Cách giải:

Ta có: $P = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }$

$\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 2\sqrt 2  + 1}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 2\sqrt 2  + 1} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  + 1} \right| - \left| {\sqrt 2  - 1} \right|\end{array}$

$= \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\,$ $\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right)$

$= \sqrt 2  + 1 - \sqrt 2  + 1 = 2.$

Chọn C.

Câu 3

Phương pháp:

Sử dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông: $AC = AB\tan B.$

Cách giải:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}AC = AB\tan B\\ = 5.\tan {60^0} = 5\sqrt 3 \,\,cm.\end{array}$

Chọn C.

Câu 4

Phương pháp:

Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh $a$ là: $R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Cách giải:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng $2cm$ là: $R = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \,\,cm.$

Chọn D.

Câu 5

Phương pháp:

Tính số đo  $\angle SOA.$

Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo = một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Cách giải:

Ta có: $SA$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $A \Rightarrow \angle OAS = {90^0}.$

Xét $\Delta SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\angle SOA = {90^0} - \angle ASO$ $= {90^0} - {40^0} = {50^0}$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ ta có:

$\angle ACS$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

$\angle SOA$ là góc ở tâm chắn cung $AB$

$\Rightarrow \angle ACS = \dfrac{1}{2}\angle AOS$ $= \dfrac{1}{2}{.50^0} = {25^0}$

Chọn C.

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

Hàm số $y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ nghịch biến $\Leftrightarrow a < 0.$

Cách giải:

Hàm số $y = \left( {{m^2} - 9} \right)x + 3$ nghịch biến $\Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0$ $\Leftrightarrow  - 3 < m < 3.$

Lại có $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn A.