1. Lý thuyết hàm số $y= a^2 x (a \ne 0$)

Tập xác định của hàm số $y = a{x^2}$ $(a ≠ 0)$

Hàm số $y = a{x^2}$ $(a ≠ 0)$ xác định với mọi giá trị của $x ∈ R.$ nên tập xác định $D=R.$

+) Nếu $a > 0$ thì $y > 0$ với mọi $x \ne 0$;

$y = 0$ khi $x = 0$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y = 0$.

+) Nếu $a < 0$ thì $y < 0$ với mọi $x \ne 0$;

$y = 0$ khi $x = 0$ và giá trị lớn nhất của hàm số là $y = 0$.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

Phương pháp:

Giá trị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là ${y_0} = ax_0^2$.

Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

- Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

- Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$

Phương pháp:

Để vẽ đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Lập bảng giá trị đặc biệt tương ứng giữa $x$ và $y$ của hàm số $y = a{x^2}\,\,(a \ne 0)$.

Thông thường ta sẽ lấy ít nhất 5 giá trị của $x$ là $-2;-1;0;1;2$ rồi tính lần lượt từng giá trị của $y$ tương ứng. Tuy nhiên ta cần linh hoạt trong cách lấy để thu được kết quả dễ xác định nhất. 

Bước 2: Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các điểm đặc biệt đó.

Dạng 4: Tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng

Phương pháp:

Cho parabol $(P):y=a{x^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$: $a{x^2} = mx + n$ (*)

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ .

Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $P$.

- Nếu (*) vô nghiệm thì $(d)$ không cắt $(P)$;

- Nếu (*) có nghiệm kép thì $(d)$ tiếp xúc với $(P)$;

- Nếu (*) có $2$ nghiệm phân biệt thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.