Đề bài

Tam giác có ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC.

Xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},{A_3}{B_3}{C_3},...$ sao cho tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh 1 và với mỗi số nguyên $n \ge 2,$ tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}.$

Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu ${r_n}$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$.

Chứng minh rằng dãy số $({r_n})$ là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.