Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}$ và $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 4$

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}$.

3) Tìm x để $A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x  + 2}}$.

Câu II. (2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% số học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% số học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Tính số học sinh dự thi của môi trường?

Câu III. (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1}  = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1}  =  - 5}\end{array}} \right.$

2) Cho parabol (P): $y = {x^2}$và đường thẳng (d): $y = 2(m - 1)x - {m^2} + 2m$ (m là tham số).

a. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 2.

b. Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ là hai số đối nhau.

Câu IV. (3,5 điểm)

Cho nửa tròn (0 ; R) đường kính AB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó (M khác A và B). Trên dây BM lấy điểm N (N khác B và M), tỉa AN cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Tia AM và tia BP cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh: bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: $\Delta$MAB và $\Delta$MNQ đồng dạng.

3) Chứng minh MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.

4) Dựng hình bình hành ANBC. Chứng minh QB = QC.sin$\widehat {QPM}$

Câu V.(0,5 điểm)

Tìm GTNN của biểu thức:

$P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2}  + 2021$.