I. Thứ tự trong tập hợp số nguyên

Sắp xếp các số nguyên theo thứ tự tăng dần tức là số nào nhỏ hơn ta viết trước, số lớn hơn ta viết sau.

Sắp xếp các số nguyên theo thứ tự giảm dần tức là số nào lớn hơn ta viết trước, số nhỏ hơn ta viết sau.

Ví dụ: Cho các số $- 5;\,\,4 ;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2$

a) Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần.

b) Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự giảm dần.

Giải

a) Ta có: $- 5 < - 2 < 0 < 2 < 4$

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $- 5;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2;\,\,4.$

b) Ta có: $4 > 2 > 0 > - 2 > - 5$.

Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: $4;\,\,2;\,\,0;\,\, - 2;\,\, - 5$.

II. So sánh hai số nguyên

1. So sánh hai số nguyên.

Trên trục số nằm ngang, nếu điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$ thì ta nói $a$ nhỏ hơn $b$ hoặc $b$ lớn hơn $a$.

Trên trục số thẳng đứng, nếu điểm $a$ nằm phía dưới điểm $b$ thì ta nói $a$ nhỏ hơn $b$ hoặc $b$ lớn hơn $a$.

Kí hiệu: $a < b$ hoặc $b > a$.

Ví dụ:

+) Điểm $- 2$ nằm bên trái điểm $0$ nên $- 2\, < \,0$.

+) Điểm $3$ nằm bên phải điểm $0$ nên $3 > 0$.

2. Cách so sánh hai số nguyên

a) So sánh hai số nguyên trái dấu

Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương.

b) So sánh hai số nguyên cùng dấu

Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước cả hai số âm.

Bước 2: Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (tương ứng) sẽ lớn hơn.

Nhận xét:

- Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số $0$.

- Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số $0$.

- Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.

- Với hai số nguyên âm, số nào có số đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn.

- Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

Chú ý: Kí hiệu $a \le b$ có nghĩa là “${\rm{a < b}}$ hoặc $a = b$”.

Ví dụ:

+) $7$ là số nguyên dương, $- 15$ là số nguyên âm nên $- 15 < 7$.

+) Vì $9 > 2$ nên $-9<-2$.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

I. Bài toán so sánh hai số nguyên

a) So sánh hai số nguyên trái dấu

Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương.

b) So sánh hai số nguyên cùng dấu

Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1: Bỏ dấu “-” trước cả hai số âm.

Bước 2: Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (tương ứng) sẽ lớn hơn.

II. Tìm số nguyên thuộc một khoảng cho trước

Dựa vào qui tắc so sánh các số nguyên để chọn ra các số nguyên thích hợp.

Ví dụ:

Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn: $- 2 < x \le 1$

Ta thấy các số nguyên lớn hơn $- 2$ và nhỏ hơn hoặc bằng $1$ thỏa mãn đề bài nên:

$x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$.