Lời giải chi tiết

Bài 1:

\(\begin{array}{l}a)\;\sqrt {25} - \sqrt {\dfrac{{49}}{4}} + \sqrt {0,25} \\ = \sqrt {{5^2}} - \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {0,{5^2}} \\ = 5 - \dfrac{7}{2} + 0,5\\ = 5 - 3,5 + 0,5 = 2.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;\left( { - \dfrac{{25}}{{27}} - \dfrac{{31}}{{42}}} \right) - \left( {\dfrac{{ - 7}}{{27}} - \dfrac{3}{{42}}} \right)\\ = - \dfrac{{25}}{{27}} - \dfrac{{31}}{{42}} + \dfrac{7}{{27}} + \dfrac{3}{{42}}\\ = \left( {\dfrac{7}{{27}} - \dfrac{{25}}{{27}}} \right) + \left( {\dfrac{3}{{42}} - \dfrac{{31}}{{42}}} \right)\\ = - \dfrac{{18}}{{27}} - \dfrac{{28}}{{42}} = - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ - 4}}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;\dfrac{{10\dfrac{3}{{10}} - (9,5 - 0,25.18):0,5}}{{1\dfrac{1}{5} - 1\dfrac{1}{2}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{10}} - (\dfrac{{19}}{2} - \dfrac{1}{4}.18):\dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{6}{5} - \dfrac{3}{2}}} \\= \dfrac{{\dfrac{{103}}{{10}} - (\dfrac{{19}}{2} - \dfrac{9}{2}).2}}{{\dfrac{{6.2}}{{5.2}} - \dfrac{{3.5}}{{5.2}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{10}} - \dfrac{{10}}{2}.2}}{{\dfrac{{12}}{{10}} - \dfrac{{15}}{{10}}}} = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{10}} - 10}}{{\dfrac{{ - 3}}{{10}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{10}} - \dfrac{{100}}{{10}}}}{{\dfrac{{ - 3}}{{10}}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{{10}}}}{{\dfrac{{ - 3}}{{10}}}} = - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\;\;\dfrac{3}{{49}}.\dfrac{{19}}{2} - \dfrac{3}{{49}}.\dfrac{5}{2} - {\left( {\dfrac{1}{{20}} - \dfrac{1}{4}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2} - \dfrac{{193}}{{14}}} \right)\\ = \dfrac{3}{{49}}.\left( {\dfrac{{19}}{2} - \dfrac{5}{2}} \right) - {\left( {\dfrac{1}{{20}} - \dfrac{{1.5}}{{4.5}}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{( - 1).7}}{{2.7}} - \dfrac{{193}}{{14}}} \right)\\ = \dfrac{3}{{49}}.\dfrac{{14}}{2} - {\left( {\dfrac{1}{{20}} - \dfrac{5}{{20}}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{ - 7}}{{14}} - \dfrac{{193}}{{14}}} \right)\\ = \dfrac{3}{7} - {\left( {\dfrac{{ - 4}}{{20}}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{ - 200}}{{14}}} \right)\\ = \dfrac{3}{7} - {\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{ - 100}}{7}} \right)\\ = \dfrac{3}{7} - \dfrac{1}{{25}}.\dfrac{{( - 100)}}{7}\\ = \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{7}{7} = 1\end{array}\)

Bài 2:

1)

a)

- Nếu \(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6} \ge 0\) tức \(x \ge \dfrac{1}{3}\) thì \(\left| {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6}} \right| = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6}\)

Ta có phương trình \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow x = 1\;\;\;\;\left( {tmdk\;\;x \ge \dfrac{1}{3}} \right)\)

- Nếu \(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6} < 0\) tức là x <\(\dfrac{1}{3}\)thì\(\left| {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6}} \right| = - \left( {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{6}} \right) = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}x\)

Ta có phương trình \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{{ - 1}}{6} \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{3}\;\;\;\left( {tmdk\;\;x < \dfrac{1}{3}} \right)\)

Vậy x = 1 hoặc\(x = - \dfrac{1}{3}.\)

b)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\left( {4{x^2} - 3} \right)^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {4{x^2} - 3} \right)^3} = - 8\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 3 = - 2 \Leftrightarrow 4{x^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left| x \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right..\end{array}\)\(\)

Vậy \(x = \dfrac{{ - 1}}{2}\) hoặc \(x = \dfrac{1}{2}\).

2) Vẽ đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}x\) .

- Khi \(x = - 2\)thì\(y = \dfrac{{ - 1}}{2}.\left( { - 2} \right) = 1\).

Vậy điểm \(C\left( { - 2;\;1} \right)\)thuộc đồ thị của hàm số .

Đồ thị của hàm số này là đường thẳng OC trong hình vẽ bên.

- Xét điểm A, B thấy điểm C thuộc đồ thị còn điểm B không thuộc đồ thị , thật vậy:

+ Khi x = \( - 12\) thì \(y = \dfrac{{ - 1}}{2}.( - 12) = 6 \ne - 6\) nên điểm B(\( - 12;\; - 6\)) không thuộc đồ thị .

+ Khi \(x = 2\) thì \(y = \dfrac{{ - 1}}{2}.2 = - 1\) nên điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) thuộc đồ thị .

Điểm A, C thuộc đồ thị còn điểm B không thuộc đồ thị nên 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. (đpcm)

Bài 3:

Gọi thời gian của từng máy để bơm đầy bể theo thứ tự là \(x,\;y,\;z\) (giờ) \(\left( {x,\;y,\;z > 0} \right).\)

Vì thể tích 3 bể như nhau, nên thời gian của từng máy để bơm đầy b và thể tích nước bơm được mỗi giờ của mỗi máy là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo đề bài ta có: 6.x = 10.y = 9.z (1)

và x – y = 2 (2)

Từ (1) ta có: \(\dfrac{{6{\rm{x}}}}{{90}} = \dfrac{{10y}}{{90}} = \dfrac{{9{\rm{z}}}}{{90}}\) (90 làBCNN(6; 10; 9)\( \Rightarrow \dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{9} = \dfrac{z}{{10}}\) (3)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, từ (3) và (2) ta có:\(\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{9} = \dfrac{z}{{10}} = \dfrac{{x - y}}{{15 - 9}} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{15}}{3} = 5\)giờ, \(y = \dfrac{9}{3} = 3\)giờ và\(z = \dfrac{{10}}{3}\)giờ = 3 giờ 20 phút.

Vậy thời gian của từng máy để bơm đầy bể lần lượt là 5 giờ, 3 giờ và 3 giờ 20 phút.

Bài 4:

a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI ta có:

\(\angle BAI = \angle DAI\) (theo giả thiết)

\(AB = A{\rm{D}}\) (theo giả thiết)

AI: chung

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta A{\rm{D}}I\;\;(c - g - c)\)

\( \Rightarrow BI = ID\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Vì\(\Delta ABI = \Delta A{\rm{D}}I\;(c - g - c)\) nên:

\(\angle ABI = \angle A{\rm{D}}I\) (2 góc tương ứng) (1)

Mà: \(\angle ABE = \angle A{\rm{D}}C = {180^0}\) (2 góc bẹt) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\angle ABE - \angle ABI = \angle A{\rm{D}}C - \angle ADI \Leftrightarrow \angle IBE = \angle IDC\)

Xét \(\Delta IBE\)và\(\Delta IDC\) ta có:

\(\angle IBE = \angle I{\rm{D}}C\) (chứng minh trên)

\(\angle BIE = \angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)

\(BI = I{\rm{D}}\) (chứng minh trên)

\(\)\( \Rightarrow \Delta IBE = \Delta I{\rm{D}}C\;(g - c - g)\) (đpcm)

c) Ta có: BI = ID (chứng minh trên) \( \Rightarrow \Delta BI{\rm{D}}\) cân tại \(I \Rightarrow \angle IBD = \angle IDB\) (tính chất của tam giác cân) (1)

Ta lại có: \(\Delta IBE = \Delta I{\rm{D}}C\;(g - c - g)\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow IE = IC\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta IEC\) cân tại I

\( \Rightarrow \angle IEC = \angle ICE\) (tính chất của tam giác cân) (2)

Xét 2 tam giác \(\Delta IEC\)và\(\Delta IBD\) ta có:

\(\angle BID = \angle EIC\) (2 góc đối đỉnh)

\(\angle IBD + \angle IDB + \angle BID = \angle IEC + \angle IC{\rm{E}} + \angle EIC = {180^0}\) (Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180⁰) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(2\angle I{\rm{D}}B + \angle BI{\rm{D}} = 2\angle IEC + \angle EIC\)

\( \Rightarrow \angle I{\rm{D}}B = \angle IEC\;\;hay\;\;\angle E{\rm{D}}B = \angle DEC\) (cặp góc so le trong bằng nhau)

\( \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel EC\) (đpcm)

d)Ta có \(\Delta IBE = \Delta I{\rm{D}}C\;(g - c - g)\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \angle BEI = \angle DCI\) (2 góc tương ứng)

Lại có: \(\angle BIE = \angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle BEI + \angle BIE = \angle DCI + \angle DIC\) (*)

Xét tam giác BIE ta có:

\(\angle ABC = \angle BIE + \angle BEI\) (góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó) (**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\angle ABC = \angle DCI + \angle DIC\) hay \(\angle ABC = \angle ACB + \angle DIC\)

Theo giả thiết, ta có: \(\)\(\angle ABC = 2\angle ACB\)

\( \Rightarrow \angle DCI = \angle DIC \Rightarrow \Delta DIC\) cân tại \(D \Rightarrow DI = DC\).

Vì BI = ID (chứng minh trên) nên BI = DC.

\( \Rightarrow \) AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)

Bài 5:

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} \)\(\,= \dfrac{{x + y + z}}{1} = x + y + z\) (Theo giả thiết a + b + c = 1)

\(\)\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{z}{c}} \right)^2} = {\left( {x + y + z} \right)^2}\) (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

\({\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{z}{c}} \right)^2}\)\(\; = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{1} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)(Theo giả thiết\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\)) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + y + z} \right)^2}\;\;\;\left( {dpcm} \right)\)

b) Xét\(\Delta ABC\) và \(\Delta EB{\rm{D}}\) ta có:

AB = EB (theo gt)

BD = BC (theo gt)

\(\angle ABC = \angle EB{\rm{D}}\) (cặp góc đối đỉnh bằng nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta EB{\rm{D}}\left( {c - g - c} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AB{\rm{D}} = \Delta EBC\;\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} + {S_{\Delta AB{\rm{D}}}} = {S_{\Delta EB{\rm{D}}}} + {S_{\Delta EBC}}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta E{\rm{D}}C}} = {S_{\Delta AC{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}{S_{AC{\rm{ED}}}}\)

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD (\(H \in DC\))

Xét tam giác vuông AHB ta có:

\(\angle BAH + \angle ABH = {90^0} \Leftrightarrow \angle BAH + {60^0} = {90^0} \Leftrightarrow \angle BAH = {30^0}\)

\( \Rightarrow BH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.2 = 1\;cm\) (Tam giác vuông có một góc bằng 300⁰⁰⁰⁰⁰ thì cạnh đối diện góc đó bằng nửa cạnh huyền)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Leftrightarrow A{H^2} + {1^2} = {2^2}\)

\(\Leftrightarrow A{H^2} = 4 - 1 = 3 \Leftrightarrow AH = \sqrt 3 \;cm\)

Vậy diện tích tứ giác ACED là: \({S_{AC{\rm{ED}}}} = 2.{S_{\Delta AC{\rm{D}}}} \)\(\,= 2.\dfrac{1}{2}.AH.DC = AH.2BC = \sqrt 3 .2.4 = 8\sqrt 3 \;c{m^2}\)

baitap365.com