Bài 1 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AC\) kéo dài (Hình 1). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Giải mục 1 trang 121, 122 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong hoạt động mở đầu:

Giải mục 1 trang 113, 114 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với các đỉnh là \(A,B,C,D,A',B',C',D'\) như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng: a) Có ba điểm chung không thẳng hàng. b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung. c) Không có bất kì điểm chung nào.

Giải mục 1 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABMN) không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (left( {ABCD} right)) lần lượt với các đường thẳng (MN,MA) và (AC).

Giải mục 1 trang 100, 101, 102 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

a) Nếu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng \(a,b\) cùng nằm trong một mặt phẳng.

Giải mục 1 trang 88, 89 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Bài 2 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(I\) và \({\rm{?}}\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Giải mục 2 trang 122, 123, 124 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương (l) lên mặt phẳng (left( P right)), mặt phẳng (left( Q right)) chứa đường thẳng (a) và song song với phương chiếu

Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng (left( P right)) chứa hai đường thẳng (a,b) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (left( Q right)). Giả sử (left( P right)) và (left( Q right)) có điểm chung (M) thì (left( P right)) cắt (left( Q right)) theo giao tuyến (c) (Hình 5).

Giải mục 2 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(a\) song song với một đường thẳng \(b\) nằm trong \(\left( P \right)\). Đặt \(\left( Q \right) = mp\left( {a,b} \right)\).

Giải mục 2 trang 102, 103, 104, 105 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

a) Trong không gian, cho điểm \(M\) ở ngoài đường thẳng \(d\). Đặt \(\left( P \right) = mp\left( {M,d} \right)\). Trong \(\left( P \right)\), qua \(M\) vẽ đường thẳng \(d'\) song song với \(d\), đặt \(\left( Q \right) = mp\left( {d,d'} \right)\). Có thể khẳng định hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau không?

Giải mục 2 trang 90, 91, 92, 93 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sao tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ.

Bài 3 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC\) cắt \(B{\rm{D}}\) tại \(M\), \(AB\) cắt \(C{\rm{D}}\) tại \(N\). Trong các đường thẳng sau đây, đường nào là giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)?

Giải mục 3 trang 124, 125, 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Quan sát Hình 7 và cho biết các tia nắng song song đã tạo ra hình chiếu của hình hộp như thế nào trên nền nhà.

Giải mục 3 trang 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

a) Cho điểm (A) ở ngoài mặt phẳng (left( Q right)). Trong (left( Q right)) vẽ hai đường thẳng cắt nhau (a') và (b'). Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng (a) và (b) đi qua (A) và song song với (left( Q right))?

Giải mục 3 trang 109, 110 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\) (Hình 10).

Bài 1 trang 105 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Giải mục 3 trang 94, 95 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(a\) và điểm \(A\) không nằm trên \(a\). Trên \(a\) lấy hai điểm \(B,C\). Đường thẳng \(a\) có nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không? Giải thích.

Bài 4 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,J,E,F\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB,SC,SD\). Trong các đường thẳng sau, đường nào không song song với \(IJ\)?

Bài 1 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Giải mục 4 trang 116, 117 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\) (Hình 10). Trong \(\left( Q \right)\), hai đường thẳng \(a,b\) có bao nhiều điểm chung?

Bài 1 trang 111 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD), đáy (ABCD) là hình bình hành có (O) là giao điểm hai đường chéo. Cho (M) là trung điểm của (SC).

Bài 2 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABC\) và điểm thuộc miền trong tam giác \(ABC\) (Hình 17).

Giải mục 4 trang 96, 97, 98 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?

Bài 5 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm \(S\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

Bài 2 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều

Giải mục 5 trang 117, 118, 119 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hình dạng của các đô vật như hộp phân, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Bài 2 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của \(ABCD\) và \(ABEF\).

Bài 3 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành.

Bài 1 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(B{\rm{D}}\). Lấy \(M,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,SC\). a) Chứng minh đường thẳng \(MN\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). b) Chứng minh \(O\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SB{\rm{D}}} \right)\).

Bài 6 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(C{\rm{D}}\), cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là

Bài 3 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.

Bài 1 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho hình bình hành \(ABCD\). Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với \(\left( P \right)\) lần lượt đi qua các điểm \(A,B,C,D\). Một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại \(A',B',C',D'\). Chứng minh rằng:

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và một điểm (M) di động trên cạnh (AD). Một mặt phẳng (left( alpha right)) qua (M), song song với (C{rm{D}}) và (SA), cắt (BC,SC,SD) lần lượt tại (N,P,Q).

Bài 4 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Gọi (I) là trung điểm của (SD). Hai mặt phẳng (left( {IAC} right)) và (left( {SBC} right)) cắt nhau theo giao tuyến (Cx). Chứng minh rằng (Cxparallel SB).

Bài 2 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Gọi (M) là trung điểm của (SC).

Bài 7 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Quan hệ song song trong không gian có tính chất nào trong các tính chất sau?

Bài 4 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm \(A,B\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\). Giả sử đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(O\). Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là hình chiếu song song của \(A\) và \(B\) trên \(\left( \alpha \right)\) theo phương của đường thẳng \(d\). Ba điểm \(O,A',B'\) có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn \(d\) sao cho:

Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD), đáy (ABCD) là hình bình hành có (O) là giao điểm của hai đường chéo. Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (SA,SD).

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện (ABCD) và điểm (M) thuộc cạnh (AB). Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng qua (M), song song với hai đường thẳng (BC) và (AD). Gọi (N,P,Q) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (left( alpha right)) với các cạnh (AC,CD) và (DB).

Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành, (AC) và (BD) cắt nhau tại (O). Gọi (I) là trung điểm của (SO). Mặt phẳng (left( {ICD} right)) cắt (SA,SB) lần lượt tại (M,N).

Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD\); \(P\) thuộc đoạn \(SC\) và không là trung điểm của \(SC\).

Bài 8 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình lăng trụ (ABC.A'B'C'). Gọi (M,N,P,Q) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AC,AA',A'C',BC). Ta có:

Bài 5 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Vẽ hình biểu diễn của:

Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M,N\) lần lượt cắt \(AD,AF\) tại \(M',N'\).

Bài 5 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \(\left( P \right)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\).

Bài 6 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.

Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F,G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB,AC,BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\left( {I \ne C} \right)\), \(EG\) cắt \(A{\rm{D}}\) tại \(H\left( {H \ne D} \right)\).

Bài 9 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\) và \(O\) là một điểm thuộc miền trong của mặt bên \(CC'D'D\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) với các mặt của hình hộp.

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\). Chứng minh \({G_1}\) và \({G_2}\) chia đoạn \(AC\) thành ba phần bằng nhau.

Bài 6 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng (a,b,c,d,e) với mặt phẳng (left( P right)) là mặt trước của toà nhà (Hình 19).

Bài 5 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tam giác \(SA{\rm{D}}\) đều. \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\) cắt \(CD,SC,SB\) lần lượt tại \(N,P,Q\).

Bài 5 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác\(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), Bình gắn hai thanh tre \({A_1}{D_1},{F_1}{C_1}\) song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại \({O_1}\) (Hình 19).

Bài 11 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và hai đường thẳng chéo nhau \(a,b\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt \(a\) tại \(M\), cắt \(b\) tại \(N\). Qua điểm \(N\) dựng đường thẳng song song với \(a\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(C\).

Bài 6 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.

Bài 12 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABEF) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm (M,N) lần lượt thuộc các đường chéo (AC) và (BF) sao cho (MC = 2MA;NF = 2NB). Qua (M,N) kẻ các đường thẳng song song với (AB), cắt các cạnh (AD,AF) lần lượt tại ({M_1},{N_1}). Chứng minh rằng: