1. Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Công thức: $A\left( {B + C} \right) = AB + AC$ với $A,\,B,\,C$ là các đơn thức.

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Công thức: $\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD$

Với $A,\,B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

+)${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

+) ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

+) ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

+)  ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$

+) ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

+) ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$

+) ${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm hạng tử

+ Phối hợp nhiều phương pháp

4. Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức

a. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc: Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trong trường hợp $A$ chia hết cho $B$ ) ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$

+ Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ .

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

b. Chia đa thức cho đơn thức

+ Đa thức $A$ gọi là chia hết cho đơn thức $B \ne 0$, nếu có một đa thức $C$ sao cho $A = B.C$

+  Đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi các đơn thức hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức$B$ .

Quy tắc: Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ ( trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng kết quả với nhau.

5. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

- Muốn chia đa thức một biến $A$ cho đa thức một biến$B \ne 0$ , trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên.

- Với hai đa thức tùy ý $A$ và $B$ của một biến$\left( {B \ne 0} \right)$ , tồn tại duy nhất hai đa thức $Q$ và $R$ sao cho $A = B.Q + R$

Trong đó $R = 0$ hoặc bậc của $R$ thấp hơn bậc của$B$ .

Nếu $R = 0$ thì phép chia $A$ cho $B$ là phép chia hết.

Nếu $R \ne 0$ thì phép chia $A$ cho $B$ là phép chia có dư.