Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt

Chat GPT

Trò chuyện

Giải bài tập SGK

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)

1. Lý thuyết

+ Hai góc đối nhau $\alpha$ và $- \alpha$

$\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha$ ;	$\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha$
$\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha$ ;	$\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha$

+ Hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90^ \circ } - \alpha$

$\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha$ ;	$\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha$
$\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha$ ;	$\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha$

+ Hai góc bù nhau $\alpha$ và ${180^ \circ } - \alpha$

$\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha$ ;	$\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha$
$\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha$ ;	$\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha$

+ Hai góc $\alpha$ và ${90^ \circ } + \alpha$

$\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha$ ;	$\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha$
$\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha$ ;	$\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha$

+ Hai góc $\alpha$ và ${180^ \circ } + \alpha$

$\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha$ ;	$\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha$
$\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha$ ;	$\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha$

Chú ý: Với $k \in \mathbb{Z}$ , ta có:

$\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha$ ;	$\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha$
$\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha$ ;	$\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có

$\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)$

$\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)$

Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác $\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).$

$\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}$