Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Kết quả của phép nhân đa thức $4{{\rm{x}}^5} + 7{{\rm{x}}^2}$ với đơn thức $- 3{{\rm{x}}^3}$ là :

A. $12{{\rm{x}}^8} + 21{{\rm{x}}^5}$.

B. $- 12{{\rm{x}}^8} + 21{{\rm{x}}^5}$.

C. $12{{\rm{x}}^8} - 21{{\rm{x}}^5}$.

D. $- 12{{\rm{x}}^8} - 21{{\rm{x}}^5}$.

Câu 2: Khi viết đa thức $9{{\rm{x}}^2} + 1 - 6{\rm{x}}$ dưới dạng lũy thừa, ta được kết quả là

A. ${\rm{\;}}{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2}$.

B. $\left( {{\rm{x}} + 3} \right)\left( {{\rm{x}} - 3} \right)$.

C. ${\left( {1 - 3{\rm{x}}} \right)^2}$.

D. ${\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)^2}$.

Câu 3: Để biểu thức ${{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + {\rm{a}}$ trở thành lập phương một hiệu thì a được thay bằng

A. 3.

B. 1.

C. 9.

D. -1.

Câu 4: Giá trị của biểu thức $12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { - 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right)$ tại  là

A. 4.

B. -4.

C. 12.

D. -12.

Câu 5: Kết quả của phép tính $15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85$ là

A. 120.

B. 150.

C. 1200.

D. 1500.

Câu 6: Thu gọn biểu thức ${\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} - 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}$ ta được kết quả là

A. $2{{\rm{a}}^3}$.

B. $2{{\rm{a}}^3} + 2{{\rm{b}}^3}$.

C. $2{{\rm{a}}^2} - 6{{\rm{a}}^2}{\rm{b}}$.

D. ${\rm{\;}}2{{\rm{a}}^3} + 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}$.

Câu 7: Hình thang là hình thang cân nếu ?

A. Hai cạnh bên bằng nhau

B. Hai đường chéo bằng nhau

C. Hai góc đối bằng nhau

D. Hai cạnh đối bằng nhau

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Kết quả của phép nhân đa thức $4{{\rm{x}}^5} + 7{{\rm{x}}^2}$ với đơn thức $- 3{{\rm{x}}^3}$ là :

Phương pháp

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức: ta nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức sau đó cộng các kết quả với nhau.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {4{x^5} + 7{x^2}} \right)\left( { - 3{x^3}} \right)\\ = 4{x^5}.\left( { - 3{x^3}} \right) + \left( {7{x^2}} \right)\left( { - 3{x^3}} \right)\\ =  - 12{x^8} - 21{x^5}\end{array}$

Đáp án D.

Câu 2: Khi viết đa thức $9{{\rm{x}}^2} + 1 - 6{\rm{x}}$ dưới dạng lũy thừa, ta được kết quả là

Phương pháp

Lựa chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp.

Lời giải

$9{{\rm{x}}^2} + 1 - 6{\rm{x}} = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x + 1 = {\left( {3x - 1} \right)^2}$.

Đáp án D.

Câu 3: Để biểu thức ${{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + {\rm{a}}$ trở thành lập phương một hiệu thì a được thay bằng

Phương pháp

Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tìm a.

Lời giải

${x^3} - 3{x^2} + 3x + a = {x^3} - 3.{x^2}.1 + 3.x.{\left( { - 1} \right)^2} + a$.

Để biểu thức trở thành lập phương của một hiệu thì $a = {( - 1)^3} =  - 1$. Vậy a = -1.

Đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức $12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { - 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right)$ tại  là

Phương pháp

Dựa vào quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { - 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right) = \left[ {12: - 9} \right].\left( {{x^2}:x} \right).\left( {{y^2}:{y^2}} \right)\\ = \frac{{ - 4}}{3}x\end{array}$

Thay ${\rm{x}} =  - 3$ và ${\rm{y}} = 1,005$ vào biểu thức ta được: $\frac{{ - 4}}{3}.\left( { - 3} \right) = 4$.

Đáp án A.

Câu 5: Kết quả của phép tính $15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85$ là

Phương pháp

Tìm nhân tử chung để thực hiện phép tính nhanh.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85\\ = 15.91,5 + 15.8,5\\ = 15(91,5 + 8,5)\\ = 15.100\\ = 1500\end{array}$

Đáp án D.

Câu 6: Thu gọn biểu thức ${\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} - 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}$ ta được kết quả là

Phương pháp

Sử dụng các hằng thức đáng nhớ để rút gọn.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} - 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}\\ = \left( {a - b + a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - (a - b)(a + b) + {{(a + b)}^2}} \right] - 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} - {a^2} + {b^2} + {a^2} + 2ab + {b^2}} \right) - 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) - 6a{b^2}\\ = 2{a^3} + 6a{b^2} - 6a{b^2}\\ = 2{a^3}\end{array}$

Đáp án A.

Câu 7: Hình thang là hình thang cân nếu ?

Phương pháp

Dựa vào dấu hiệu nhận biết một hình thang cân.

Lời giải

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Đáp án B.

Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng

A. Hình bình hành có một góc vuông là hình thoi.

B. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

C. Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật.

D. Hình thoi có một góc ${60^o}$ thì trở thành hình chữ nhật.

Phương pháp

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của các hình đã học.

Lời giải

Trong các khẳng định trên, chỉ có khẳng định B là đúng.

Đáp án B.

Câu 9: Hình bình hành ABCD có số đo góc A bằng 2 lần số đo góc B. Khi đó số đo góc D là:

Phương pháp

Trong hình bình hành, hai góc kề nhau thì bù nhau, hai góc đối nhau thì bằng nhau.

Lời giải

Ta có góc A và góc B là hai góc kề một cạnh nên $\widehat A + \widehat B = {180^0}$. Mà góc A bằng 2 lần góc B nên ta có:

$\begin{array}{l}2\widehat B + \widehat B = {180^0}\\3\widehat B = {180^0}\\\widehat B = {180^0}:3 = {60^0}\end{array}$

Đáp án A.

Câu 10: Hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật nếu có

A. MN = PQ.

B. MP = NQ.

C. NP = MQ.

D. MN = MQ.

Phương pháp

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Lời giải

Hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật nếu hai đường chéo của hình bình hành MNPQ bằng nhau, hay MP = NQ.

Đáp án B.

Phần tự luận. (8 điểm)

Bài 1. (3 điểm)

1.    Thực hiện phép tính : (x³y³ – x²y³ – 4x³y²) : 2x²y².

2.    Cho biểu thức : A = (x – 2)³ – x²(x – 4) - 12x + 8

                          B = (x² – 6x + 9) : (x – 3) – x(x + 7) – 9

a)    Thu gọn biểu thức A và B.

b)    Tính giá trị của biểu thức A tại giá trị x = - 1.

c)    Biết C = A + B. Chứng minh C luôn âm với mọi giá trị của x.

Phương pháp

1. Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

2.

a) Thu gọn biểu thức A và B bằng cách sử dụng các quy tắc tính toán với đa thức.

b) Thay x = -1 vào biểu thức A để tính giá trị của A.

c) Sử dụng quy tắc cộng để tìm C. Biến đổi C thành tích của một số âm và số dương nên luôn âm với mọi x.

Lời giải

1.    Ta có

$\begin{array}{l}({x^3}{y^3}-{x^2}{y^3}-{\rm{ }}4{x^3}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}2{x^2}{y^2}\\ = {x^3}{y^3}:2{x^2}{y^2} - {x^2}{y^3}:2{x^2}{y^2} - 4{x^3}{y^2}:2{x^2}{y^2}\\ = \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}y - 2x\end{array}$

2.   

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^3}-{\rm{ }}{x^2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) - 12x {\rm{ }} + {\rm{ }}8\\ = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + 4{x^2} -12x + 8\\ =  - 2{x^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}9\\ = {\left( {x - 3} \right)^2}:\left( {x - 3} \right) - {x^2} - 7x - 9\\ = x - 3 - {x^2} - 7x - 9\\ =  - {x^2} - 6x - 12\end{array}$

b) Thay x = -1 vào A, ta được: A = -2.(-1)² = -2.

c)    Ta có:

$\begin{array}{l}C = A + B =  - 2{x^2} + \left( { - {x^2} - 6x - 12} \right)\\ =  - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 12\\ =  - 3{x^2} - 6x - 12\\ =  - 3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\ =  - 3.\left[ {({x^2} + 2x + 1) + 3} \right]\\ =  - 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right]\end{array}$

Vì ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow  - 3.\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right] \le  - 3.3 =  - 9\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy C luôn âm với mọi giá trị x.

Bài 2. (2 điểm)

1)  Tìm ${\rm{x}}$, biết ${\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)^2} - {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} = 0$

2)  Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ${{\rm{a}}^2}$ chia cho 5 dư 1.

3)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

${\rm{Q}} = 5{{\rm{x}}^2} + 5{{\rm{y}}^2} + 8{\rm{xy}} - 2{\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 2$.

Phương pháp

1) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức để tìm x.

2) Đặt a = 5k + 4. Sử dụng hằng đẳng thức để tách a² thành tổng của các hạng tử, chứng minh a² chia 5 dư 1.

3) Biến đổi biểu thức thành tổng của các đa thức bậc 2 + hằng số.