Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Kết quả của phép nhân đa thức $4{{\rm{x}}^5} + 7{{\rm{x}}^2}$ với đơn thức $- 3{{\rm{x}}^3}$ là :

Phương pháp

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức: ta nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức sau đó cộng các kết quả với nhau.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {4{x^5} + 7{x^2}} \right)\left( { - 3{x^3}} \right)\\ = 4{x^5}.\left( { - 3{x^3}} \right) + \left( {7{x^2}} \right)\left( { - 3{x^3}} \right)\\ =  - 12{x^8} - 21{x^5}\end{array}$

Đáp án D.

Câu 2: Khi viết đa thức $9{{\rm{x}}^2} + 1 - 6{\rm{x}}$ dưới dạng lũy thừa, ta được kết quả là

Phương pháp

Lựa chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp.

Lời giải

$9{{\rm{x}}^2} + 1 - 6{\rm{x}} = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x + 1 = {\left( {3x - 1} \right)^2}$.

Đáp án D.

Câu 3: Để biểu thức ${{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + {\rm{a}}$ trở thành lập phương một hiệu thì a được thay bằng

Phương pháp

Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tìm a.

Lời giải

${x^3} - 3{x^2} + 3x + a = {x^3} - 3.{x^2}.1 + 3.x.{\left( { - 1} \right)^2} + a$.

Để biểu thức trở thành lập phương của một hiệu thì $a = {( - 1)^3} =  - 1$. Vậy a = -1.

Đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức $12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { - 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right)$ tại  là

Phương pháp

Dựa vào quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.

Lời giải

Ta có:

$12{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{\;}}:\left( { - 9{\rm{x}}{{\rm{y}}^2}} \right) = \left[ {12: - 9} \right].\left( {{x^2}:x} \right).\left( {{y^2}:{y^2}} \right) = \frac{{ - 4}}{3}x$

Thay ${\rm{x}} =  - 3$ và ${\rm{y}} = 1,005$ vào biểu thức ta được: $\frac{{ - 4}}{3}.\left( { - 3} \right) = 4$.

Đáp án A.

Câu 5: Kết quả của phép tính $15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85$ là

Phương pháp

Tìm nhân tử chung để thực hiện phép tính nhanh.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}15.{\rm{\;}}91,5 + 150.{\rm{\;}}0,85\\ = 15.91,5 + 15.8,5\\ = 15(91,5 + 8,5)\\ = 15.100\\ = 1500\end{array}$

Đáp án D.

Câu 6: Thu gọn biểu thức ${\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} - 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}$ ta được kết quả là

Phương pháp

Sử dụng các hằng thức đáng nhớ để rút gọn.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} - {\rm{b}}} \right)^3} + {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)^3} - 6{\rm{a}}{{\rm{b}}^2}\\ = \left( {a - b + a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - (a - b)(a + b) + {{(a + b)}^2}} \right] - 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} - {a^2} + {b^2} + {a^2} + 2ab + {b^2}} \right) - 6a{b^2}\\ = 2a\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) - 6a{b^2}\\ = 2{a^3} + 6a{b^2} - 6a{b^2}\\ = 2{a^3}\end{array}$

Đáp án A.

Câu 7: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC như hình vẽ.

Các mặt bên của hình chóp luôn có dạng hình

Phương pháp

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Lời giải

Trong hình chóp tam giác đều, các mặt bên của hình chóp luôn có dạng hình tam giác cân tại S.

Đáp án C.

Câu 8: Đường cao của hình chóp tứ giác đều trong hình vẽ là đoạn

Phương pháp

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tứ giác.

Lời giải

Đường cao của hình chóp tứ giác trên là đoạn SO.

Đáp án C.

Câu 9: Cho hình chóp tam giác đều có chu vi đáy là C = 2p, trong đó p là nửa chu vi và trung đoạn có độ dài d. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là

Phương pháp

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Lời giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là S_xq = p.d với p là nửa chu vi và d là trung đoạn.

Đáp án D.

Câu 10: Kim tự tháp Kheops là công trình vĩ đại có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 230 m; chiều cao 139,1m. Thể tích kim tự tháp Kheops gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Phương pháp

Dựa vào công thức tính thể tích hình chóp tứ giác.

Lời giải

Diện tích đáy là:   $S = {S_{ABCD}} = C{D^2} = {230^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({m^2})$

Thể tích của hình chóp là:  

$V = \frac{1}{3}Sh \approx \frac{1}{3}{.230^2}.139,1 \approx 2\,452\,796,667 \approx 2\,453\,000{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({m^3})$

Đáp án A.

Phần tự luận. (8 điểm)

Bài 1. (3,5 điểm)

1.    Thực hiện phép tính : (x³y³ – x²y³ – 4x³y²) : 2x²y².

2.    Cho biểu thức : A = (x – 2)³ – x²(x – 4) -12x + 8

                          B = (x² – 6x + 9) : (x – 3) – x(x + 7) – 9

a)    Thu gọn biểu thức A và B.

b)    Tính giá trị của biểu thức A tại giá trị x = - 1.

c)    Biết C = A + B. Chứng minh C luôn âm với mọi giá trị của x.

Phương pháp

1. Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

2.

a) Thu gọn biểu thức A và B bằng cách sử dụng các quy tắc tính toán với đa thức.

b) Thay x = -1 vào biểu thức A để tính giá trị của A.

c) Sử dụng quy tắc cộng để tìm C. Biến đổi C thành tích của một số âm và số dương nên luôn âm với mọi x.

Lời giải

1.    Ta có

$\begin{array}{l}({x^3}{y^3}-{x^2}{y^3}-{\rm{ }}4{x^3}{y^2}){\rm{ }}:{\rm{ }}2{x^2}{y^2}\\ = {x^3}{y^3}:2{x^2}{y^2} - {x^2}{y^3}:2{x^2}{y^2} - 4{x^3}{y^2}:2{x^2}{y^2}\\ = \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}y - 2x\end{array}$

2.   

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^3}-{\rm{ }}{x^2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) - 12x {\rm{ }} + {\rm{ }}8\\ = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + 4{x^2} -12x + 8\\ =  - 2{x^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}9\\ = {\left( {x - 3} \right)^2}:\left( {x - 3} \right) - {x^2} - 7x - 9\\ = x - 3 - {x^2} - 7x - 9\\ =  - {x^2} - 6x - 12\end{array}$

b) Thay x = -1 vào A, ta được: A = -2.(-1)² = -2.

c)    Ta có:

$\begin{array}{l}C = A + B =  - 2{x^2} + \left( { - {x^2} - 6x - 12} \right)\\ =  - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 12\\ =  - 3{x^2} - 6x - 12\\ =  - 3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\ =  - 3.\left[ {({x^2} + 2x + 1) + 3} \right]\\ =  - 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right]\end{array}$

Vì ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow  - 3.\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3} \right] \le  - 3.3 =  - 9\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy C luôn âm với mọi giá trị x.

Bài 2. (2 điểm)

1)  Tìm ${\rm{x}}$, biết ${\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)^2} - {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} = 0$

2)  Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ${{\rm{a}}^2}$ chia cho 5 dư 1.

3)  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

${\rm{Q}} = 5{{\rm{x}}^2} + 5{{\rm{y}}^2} + 8{\rm{xy}} - 2{\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 2$.

Phương pháp

1) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức để tìm x.

2) Đặt a = 5k + 4. Sử dụng hằng đẳng thức để tách a² thành tổng của các hạng tử, chứng minh a² chia 5 dư 1.

3) Biến đổi biểu thức thành tổng của các đa thức bậc 2 + hằng số.