1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm ${x_0}$, kí hiệu là $f'\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $y'\left( {{x_0}} \right)$.

- Cách viết khác của định nghĩa:

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$.

- Quy tắc tính đọa hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:

Bước 1: Tính $f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ với $x \in \left( {a;b} \right),x \ne {x_0}$.

Bước 3: Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $k = f'\left( {{x_0}} \right)$ nếu đạo hàm $f'\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại.

- Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ là:

$y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$.

4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t là v(t) = s’(t).