1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

2. Khảo sát hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y' =  - 3{x^2} + 6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
• Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu ${y_{CT}} =  - 4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại
• Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty$
• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left( {0;4} \right)$
• Ta có: y = 0 $\Leftrightarrow$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {2;0} \right)$
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\

3. Khảo sát hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y' =  - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0$ với mọi $x \ne 2$
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
• Hàm số không có cực trị
• Tiệm cận: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  - \infty  = 1$

                  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)$
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left( { - 1;0} \right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left( {2;1} \right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

4. Khảo sát hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$

• Ta có: $y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}$ . Vậy y’ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3
• Trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này
• Trên các khoảng $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này
• Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với ${y_{CT}} = 5$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$
• Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left( {2;3} \right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t)

c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm ?

Giải:

a) Ta có: $f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895$ (nghìn người)

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người

b)

1) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

$\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = 26$. Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• BBT:

$f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} > 0$ với mọi $t \ge 0$

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;2)
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;6). Vậy đồ thị hàm số $y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$, $t \ge 0$ được cho ở hình vẽ sau

c)

• Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó là:

$f'(52) = \frac{{120}}{{{{(52 + 5)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}$

• Ta có:

$f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow {(t + 5)^2} = 625 \Leftrightarrow t = 20$ (do $t \ge 0$)

Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.