Phương trình $0x - 0y = 6$ là phương trình bậc nhất vì hệ số $a = b = 0$.

Đáp án D.

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$ có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$ vì $\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 0 = 2\\1 + 0 = 1\end{array} \right.$.

Đáp án B.

Vì nếu xếp mỗi xe 12 tấn thì thừa 3 tấn nên ta có phương trình $x - 12y = 3$.

Vì nếu xếp vào mỗi xe 15 tấn thì có thể chở thêm 12 tấn nữa nên ta có phương trình $15y - x = 12$ hay $- x + 15y = 12$.

Vậy hệ phương trình thỏa mãn là $\left\{ \begin{array}{l}x - 12y = 3\\ - x + 15y = 12\end{array} \right.$.

Đáp án B.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0\\{x^2} - x - 3x + 3 = 0\\\left( {{x^2} - x} \right) - \left( {3x - 3} \right) = 0\\x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

Đáp án C.

Hệ thức $2a \le a + 1$ có $2a$ là vế trái, $a + 1$ là vế phải.

Đáp án D.

Theo tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, với $a < b$ và $c < d$ thì $a + c < b + d$ nên đáp án B đúng.

Đáp án B.

Điều kiện của a, b là a, b là hai số đã cho và $a \ne 0$.

Đáp án B.

Ta có:

$\begin{array}{l}x - 2 > 0\\x > 2\end{array}$

Đáp án A.

Với $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau thì $\sin \alpha  = \cos \beta ;\tan \alpha  = \cot \beta$ nên đáp án A đúng.

Đáp án A.

Ta có: $\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5$.

Đáp án C.

Ta có: $\sin A = \frac{{BC}}{{AC}}$ suy ra $BC = AC.\sin A = \sqrt 2 .\sin 45^\circ  = 1$.

Đáp án D.

Ta có: $\sin C = \frac{5}{8}$ suy ra $\widehat C \approx 39^\circ$.

Đáp án D.

a) $\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0$

+) $x - 1 = 0$

$x = 1$

+) $3x - 6 = 0x = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$; $x = 2$.

b) $\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

ĐKXĐ: $x \ne  - 3$ và $x \ne 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\2\left( {x - 2} \right) - \left( {x + 3} \right) = 2x - 13\\2x - 4 - x - 3 = 2x - 13\\x - 7 = 2x - 13\\x - 2x =  - 13 + 7\\ - x =  - 6\\x = 6\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 6$.

c) $2x - 4 > 0$

$\begin{array}{l}2x > 4\\x > 2\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > 2$.

d) $2 - 3x \le 4x + 5$

$\begin{array}{l} - 3x - 4x \le 5 - 2\\ - 7x \le 3\\x \ge \frac{{ - 3}}{7}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge \frac{{ - 3}}{7}$.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\2x + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\4x + 2y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\2x + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2.1 + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)$.

b) Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp 1 và xí nghiệp II phải làm lần lượt là $x,y$ $\left( {x,y \in {N^*}} \right)$.

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp sản xuất phải làm tổng cộng 360 dụng cụ nên ta có:

$x + y = 360$ (1)

Thực tế, xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ nên ta có phương trình:

$\left( {x + 12\% x} \right) + \left( {y + 10\% y} \right) = 400$ hay $1,12x + 1,1y = 400$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\1,12x + 1,1y = 400\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\left( {TM} \right)$.

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp I làm được 200 dụng cụ và xí nghiệp II làm được 160 dụng cụ.

Giả sử hình biểu diễn như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\tan BCA = \frac{{AB}}{{AC}}$

Suy ra $AB = AC.\tan BCA = 16.\tan 52^\circ  \approx 20,48\left( m \right)$

Vậy chiều cao của công trình này là khoảng $20,48m$.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore trong tam giác, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {6^2} = 48$ suy ra $BC = \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{6}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ suy ra $\widehat B = 60^\circ$.

$\widehat C = 90^\circ  - \widehat B = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$.

Vậy $BC = 4\sqrt 3 cm;\widehat B = 60^\circ ;\widehat C = 30^\circ$.

b) Xét tam giác BHD và tam giác HAD có:

$\widehat {BDH} = \widehat {HDA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {BHD} = \widehat {HAD}$ (cùng phụ với $\widehat {DBH}$)

suy ra $\Delta BHD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{DH}}{{DA}}$. Do đó  $BD.DA = D{H^2}$. (1)

Xét tam giác CHE và tam giác HAE có:

$\widehat {CEH} = \widehat {HEA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {CHE} = \widehat {HAE}$ (cùng phụ với $\widehat {C}$)

suy ra $\Delta CHE\backsim \Delta HAE\left( g.g \right)$ nên $\frac{{CE}}{{HE}} = \frac{{HE}}{{AE}}$. Do đó $CE.AE = H{E^2}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD.DA + CE.AE = D{H^2} + H{E^2}$ (3).

Vì tứ giác ADHE có $\widehat {DAE} = \widehat {ADH} = \widehat {AEH} = 90^\circ$ nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Do đó $AH = DE$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DHE vuông tại H, ta có: $D{H^2} + H{E^2} = D{E^2}$. Suy ra $D{H^2} + H{E^2} = A{H^2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BD.DA + CE.AE = A{H^2}$ (đpcm)

c) Xét tam giác BIA và tam giác BAM có:

$\widehat {BIA} = \widehat {BAM}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

suy ra $\Delta BIA\backsim \Delta BAM\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BI}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BM}}$. Do đó $BI.BM = A{B^2}$.

Xét tam giác BHA và tam giác BAC có:

$\widehat {BHA} = \widehat {BAC}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

suy ra $\Delta BHA\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}$. Do đó $BH.BC = A{B^2}$.

Từ đó ta có $BI.BM = BH.BC$ suy ra $\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$.

Xét tam giác BHI và tam giác BMC có:

$\widehat B$ chung

$\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$ (cmt)

nên $\Delta BHI\backsim \Delta BMC$ (c.g.c) suy ra $\frac{{HI}}{{MC}} = \frac{{BI}}{{BC}}$.

Xét tam giác AMB vuông tại A, ta có: $\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$.

Suy ra $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM.BC}} = \frac{{BI.BM}}{{BM.BC}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}$.

Vậy $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}$ (đpcm).

* Chứng minh bất đẳng thức $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$ hay ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$ với mọi a, b.

Vậy $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$.

* Áp dụng bất đẳng thức trên để giải.

Gọi hai cạnh của miếng đất lần lượt là x, y (m). ($0 < x,y < 800$)

Vì chu vi của mảnh đất là 800m nên ta có: $2\left( {x + y} \right) = 800$ hay $x + y = 800$.

Diện tích đất canh tác là $xy$.

Ta có: $xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \le \frac{{{{400}^2}}}{4} = 40000\left( {{m^2}} \right)$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của xy. Khi đó kích thước của mảnh đất thỏa mãn $x + y = 400$ và $xy = 40000$.

Ta có $x + y = 400$ nên $y = 400 - x$.

Thay vào $xy = 40000$, ta được:

$\begin{array}{l}\left( {400 - x} \right)x = 40000\\ - {x^2} + 400x - 40000 = 0\\{x^2} - 400x + 40000 = 0\\{\left( {x - 200} \right)^2} = 0\\x = 200\end{array}$

Khi đó $y = 400 - 200 = 200$.

Vậy người đó phải chọn mảnh đất có kích thước 200m x 200m để diện tích đất canh tác là lớn nhất.