1. Phương trình mặt cầu

Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có thể viết lại thành ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d$ và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$. Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là ${\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta  < 90)$ thì có tọa độ $M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })$. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: ${10^ \circ }N,{15^ \circ }E$ đến vị trí Q: ${80^ \circ }N,{70^ \circ }E$.

Giải:

Ta có: $P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })$, $Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })$.

Suy ra: $\overrightarrow {OP}  = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })$, $\overrightarrow {OQ}  = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })$.

Do đó,

$\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ}  = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691$.

Vì P, Q thuộc mặt đất nên $\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1$.

Do đó $\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.$ Suy ra, $\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }$.

Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là $2\pi  \approx 6,2832$, nên cung nhỏ  của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983$.

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).