$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x - y =  - 1}\\{ - x + 2y =  - 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x - 2y =  - 2}\\{ - x + 2y =  - 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 5x =  - 3}\\{ - x + 2y =  - 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{5}}\\{ - \frac{3}{5} + 2y =  - 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{2}{5}}\\{y = \frac{{ - 1}}{5}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{2}{5};\frac{{ - 1}}{5}} \right)$.

Đáp án A

$\left( { - 3x - 4} \right)\left( {5x - 10} \right) = 0$

$- 3x - 4 = 0$ suy ra $- 3x = 4$ suy ra $x =  - \frac{4}{3}$.

$5x - 10 = 0$ suy ra $5x = 10$ suy ra $x = 2$.

Đáp án D

Vì $x + y > x + 0$ nên $81 > x$ (vì $x + y = 81$; $x$ và $y$ đều là số dương).

Vì $x - 0 > x - y$ nên $x > 13$ (vì $x - y = 13$; $x$ và $y$ đều là số dương).

Do đó $81 > x > 13$.

Đáp án B

Ta có: $\sqrt 9  = 3$ nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3.

Đáp án C

Biểu thức $\sqrt {3x - 1}$ có nghĩa khi $3x - 1 \ge 0$ suy ra $x \ge \frac{1}{3}$.

Đáp án C

Thay $x = 5 - 2\sqrt 2$ vào A, ta được:

$\begin{array}{l}A = \frac{{5 - 2\sqrt 2  - 3}}{{\sqrt {5 - 2\sqrt 2  - 2}  - 1}} = \frac{{2 - 2\sqrt 2 }}{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - 1}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt {2 - 2\sqrt 2  + 1}  - 1}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 1}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right| - 1}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2  - 1 - 1}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2  - 2}} = \frac{{2\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 \end{array}$

Đáp án C

$\sqrt 9  + \sqrt[3]{{64}} - 2.\sqrt[3]{{125}} \\= \sqrt {{3^2}}  + \sqrt[3]{{{4^3}}} - 2.\sqrt[3]{{{5^3}}} = 3 + 4 - 2.5 = -3$

Đáp án B

Với $\cos \alpha  = \frac{1}{2}$ thì $\alpha  = 60^\circ$.

Đáp án D

Điểm đối xứng của điểm A qua tâm O của đường tròn là giao điểm của AO với đường tròn (O).

Đáp án A

Khẳng định B sai vì số đo cung lớn bằng hiệu của của $360^\circ$ và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

Đáp án B

Bán kính đường tròn lớn là:

10 + 10 = 20.

Diện tích phần tô màu chính là nửa hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 20 và 10 nên diện tích phần tô màu là:

$S = \frac{1}{2}.{S_{vk}} = \frac{1}{2}.\pi .\left( {{{20}^2} - {{10}^2}} \right) = 150\pi$.

Đáp án D

Ta có:

$R - R' = 11 - 1 = 10 > OO'$ hay $R - R' > OO'$ nên đường tròn $(O)$ đựng $(O')$.

Đáp án D

a) Ta có:

$B = \left( {\frac{{x - 12}}{{6\sqrt x  + x}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 6}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}$ $\left( {x \ge 0} \right)$

$\begin{array}{l}\;B = \left[ {\frac{{x - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 6}}} \right].\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \left[ {\frac{{x - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{x - 12 + 4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 6\sqrt x  - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + 6\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\left( {\sqrt x  + 6} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x }}\end{array}$

b) Thay $x = 1$ vào B, ta được:

$B = \frac{{\sqrt 1  + 7}}{{\sqrt 1 }} = \frac{{1 + 7}}{1} = 8$

Vậy $B = 8$ khi $x = 1$.

c) Ta có: $B = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{7}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{7}{{\sqrt x }}$.

Vì 1 là số nguyên nên để $B$ nguyên thì $\frac{7}{{\sqrt x }}$ nguyên.

Do đó $\sqrt x  \in$ Ư(7). Mà $\sqrt x  > 0$ và $x$ cần tìm là số nguyên nên $\sqrt x$ là ước nguyên dương của $7$.

Các ước nguyên dương của $7$ là $1;7$.

+ Với $\sqrt x  = 1$ thì $x = 1$ (TM).

+ Với $\sqrt x  = 7$ thì $x = 49$ (TM).

Vậy $x$ nhận các giá trị là $1;49$.

Gọi giá niêm yết của tủ lạnh và tivi lần lượt là $x,y$ (triệu đồng) với $0 < x,y < 52$.

Vì tổng giá niêm yết của hai mặt hàng này là 52 triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 52$ (1)

Vì tủ lạnh được giảm giá 22% nên số tiền tủ lạnh được giảm là: $x.22\%  = 0,22x$

Vì ti vi được giảm giá 25% nên số tiền ti vi được giảm là: $y.25\%  = 0,25y$

Suy ra tổng số tiền được giảm là: $0,22x + 0,25y$.

Tổng số tiền hai mặt hàng được giảm là: $52 - 39,81 = 12,19$ (triệu đồng)

Nên ta có phương trình $0,22x + 0,25y = 12,19$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 52\\0,22x + 0,25y = 12,19\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 52\\0,88x + y = 48,76\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = 52\\0,12x = 3,24\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = 52\\x = 27\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 27(TM)\\y = 25(TM)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy giá niêm yết của tủ lạnh là $27$ triệu đồng, giá niêm yết của ti vi là $25$ triệu đồng.

Chu vi của bánh xe sau là:

${C_{sau}} = \pi .{d_{sau}} = 1,672\pi \left( m \right) = 167,2\pi \left( {cm} \right)$.

Khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì đi được quãng đường là:

$167,2\pi .20 = 3344\pi \left( {cm} \right)$

Chu vi của bánh trước là:

${C_{tr}} = \pi .{d_{tr}} = 88\pi \left( {cm} \right)$.

Cứ một vòng quay của bánh xe sau, thì xe đi được quãng đường bằng chu vi của bánh xe.

Do đó khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì xe di chuyển được đoạn đường là:

$3344\pi :\left( {88\pi } \right) = 38$ (vòng).

Vậy bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh trước lăn được 38 vòng.

a) Vì $DE \bot BC$ nên $DE \bot OA$.

Xét $\Delta ODK$ và $\Delta OEK$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {OKD} = \widehat {OKE} = 90^\circ \\OD = OE = R\\OK\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ODK = \Delta OEK\left( {ch - cgv} \right)$

Do đó DK = KE (hai cạnh tương ứng).

Mà $K \in DE$ suy ra K là trung điểm của DE.

Tứ giác BDCE có K là trung điểm của hai đường chéo DE, BC và $BC \bot DE$ tại K nên tứ giác BDCE là hình thoi.

b) Vì BDCE là hình thoi nên BD // CE (hai cạnh đối song song) (1)

Suy ra $\widehat {DBA} = \widehat {ICA}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta CIA$ có:

$\widehat {DBA} = \widehat {ICA}$ (cmt)

$\widehat {DAB} = \widehat {IAC}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta BDA\backsim \Delta CIA$ (g.g)

Do đó $\widehat {BDA} = \widehat {CIA}$ (2 góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng (theo tiên đề Euclid).

c) Vì O’I = O’A = O’C = $\frac{1}{2}$AC nên tam giác ACI vuông tại I.

Suy ra tam giác DIE vuông tại I, do đó $KI = DK = KE = \frac{1}{2}DE$ nên $\widehat {KDI} = \widehat {KID}$ (3)

Xét $\Delta CIA$ và $\Delta CKE$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {CIA} = \widehat {CKE} = 90^\circ \\\widehat C\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta CIA\backsim \Delta CKE$ (g.g), do đó $\widehat {CAI} = \widehat {CEK}$.

Vì O’I = O’A nên tam giác O’AI cân tại O’, suy ra $\widehat {O'AI} = \widehat {O'IA}$.

Do đó $\widehat {O'IA} = \widehat {CEK}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {KIO'} = \widehat {KIA} + \widehat {AIO'} = \widehat {KDI} + \widehat {CEK} = 90^\circ$ (hai góc $\widehat {KDI}$ và $\widehat {CEK}$ là hai góc phụ nhau)

Do đó $\widehat {KIO'} = 90^\circ$ hay $KI \bot O'I$, $I \in \left( {O'} \right)$.

Vậy KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.

Gọi độ dài của hàng rào song song với bờ sông là $x\left( {m,x > 0} \right)$;

độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là $y\left( {m,y > 0} \right)$.

Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: $xy\left( {{m^2}} \right)$.

Tổng chi phí là 15 000 000 đồng nên ta có phương trình:

$60\,000.x + 50\,000.3y = 15\,000\,000$

hay $6x + 15y = 1500$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

$6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.15y}  = 2\sqrt {90xy}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$2\sqrt {90xy}  \le 1500$

$\sqrt {90xy}  \le 750$ (nhân cả hai vế với $\frac{1}{2}$)

$90xy \le {750^2}$ hay $90xy \le 562\,500$

Suy ra $xy \le \frac{{562\,500}}{{90}}$ hay $xy \le 6250$

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của $xy$. Do đó $xy$ lớn nhất bằng $6\,250$.

Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào là $6\,250{m^2}$.